Question

设x1=2，xn+（xn-4）x(n-1)=3求lim n趋于无穷 xn？

请问，求解xn的极限时，是否需要先证明其存在？答案里面是否要写极限是否存在的证明过程？
如果不用证明的话，就比较简单一点，直接假设极限为A，则xn和xn-1都是A，将其代入原式，求出来取正值即可，谢谢大侠。

Answer 1

凡这样的题目，首先的第一步就是证明其极限存在，然后才可以设极限为 A，两边取极限，通过解方程求出极限。

追问

那请问此题“ 求 lim n->无穷大（1+2^n+3^n）^1/n.”也要先证明（1+2^n+3^n）^1/n的极限存在吗？我看书上直接求解了。
如果上面那道题，我不事先证明，会出现什么问题或者漏洞？
所以，在求解极限的题目中，什么样的需要证明，什么样的不需要证明，原因是什么？谢谢西域老师！

追答

你这个是已知数列，当然是直接计算，计算结果是几，就说明其极限等于几，无须证明其极限存在，因为已经等到了。

前面的递推数列求极限时，必须先证明极限存在，然后才能设极限，解方程。
否则会出现逻辑错误。如 a(1)=1，a(n)=2a(n-1)+3（当然这个极限是不存在的），
如果不加说明，直接设极限为 a，就会得到 a=2a+3，a=-3 。