Question

如图,直线y=-x-1与抛物线y=ax^2+bx-4都经过点A(-1,0)，C(3，-4)

求（1）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E,求线段PE长度的最大值
（2）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使三角形PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）把A,C分别带入到抛物线中，解得a=1，b=-3，所以抛物线：y=x^2-3x-4，设P（x0，-x0-1），则E（x0，x0^2-3x0-4），则|PE|=|x0^2-3x0-4-(-x0-1)|=|(x0-1)^2-4|，由于点P在线段AC上，所以
-1<x0<4,所以线段PE的最大长度为4
（2）当线段PE的长度取得最大值时，P为（1，-2），假设存在抛物线上一点Q，使得三角形PCQ是以PC为直角边的直角三角形，则设Q（t，t^2-3t-4），PC为直角边，分以下两种情况：
第一种：当角QPC=90度时，利用两个垂直向量的积为0.可得t=2+根号5或t=2-根号5，此时，Q分别为（1+根号5,1+根号5）（1-根号5,1-根号5），显然这两点都不在抛物线上，故不成立
第二种：当角QCP=90度时，同第一种情况解出t=1或3，此时Q的坐标分别为（1，-6）（3，-4）即分别是E点和C点。经验证E点符合，所以满足题意的Q点的坐标为（1，-6）

Answer 2

解：
1）将A(-1,0)，C(3，-4) 代人抛物线y=ax^2+bx-4中，得，
a-b-4=0,
9a+3b-4=-4,
解得，a=1,b=-3,
抛物线为y=x^2-3x-4
设P(x,-x-1),则E点的坐标为（x,x^2-3x-4)，
所以PE=-x-1-(x^2-3x-4)=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4
当x=1时，PE有最大值4

2）因为直线PC：y=-x-1，与x轴夹角为135°，
若以PC为直角边，则过C的直线与x轴夹角为45°，
设该直线为y=x+b,
因为过C(3，-4)代人直线y=x+b，解得b=-7，
所以此直线解析式为：y=x-7
解方程组y=x-7,
y=x^2-3x-4,
x^2-3x-4=x-7,
x^2-4x+3=0,
(x-1)(x-3)=0,
x1=1,x2=3
当x1=1,y=-6，
当x2=3，y=-4,
其中（3,-4）就是C点
所以符合条件的Q有（1，-6）

Answer 3

解：
1）将A(-1,0)，C(3，-4) 代人抛物线y=ax^2+bx-4中，得，
a-b-4=0,
9a+3b-4=-4,
解得，a=1,b=-3,
抛物线为y=x^2-3x-4
设P(x,-x-1),则E点的坐标为（x,x^2-3x-4)，
所以PE=-x-1-(x^2-3x-4)=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4
当x=1时，PE有最大值4

2）因为直线PC：y=-x-1，与x轴夹角为135°，
若以PC为直角边，则过C的直线与x轴夹角为45°，
设该直线为y=x+b,
因为过C(3，-4)代人直线y=x+b，解得b=-7，
所以此直线解析式为：y=x-7
解方程组y=x-7,
y=x^2-3x-4,
x^2-3x-4=x-7,
x^2-4x+3=0,
(x-1)(x-3)=0,
x1=1,x2=3
当x1=1,y=-6，
当x2=3，y=-4,
其中（3,-4）就是C点
所以符合条件的Q有（1，-6

Answer 4

第二题应该有三解……