Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n 设bn=an/n,求证bn+1-bn=1/2^n bn的通项公式

Answer 1

an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n
变形可得：a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
an/n-a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1)
......
a2/2-a1/1=1/2
等式两边累加可得：
an/n-a1/1=1/2+......+1/2^(n-1)
所以bn=an/n=a1/1+1/2+......+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)(等比数列求和)
b(n+1)=1+1/2+......+1/2^(n-1)+1/2^n
b(n+1)-bn=(1/2)^n

Answer 2

an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2^n (这里是2的n次方吧)
a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
因bn=an/n 则b(n+1)=a(n+1)/(n+1) b1=a1/1=1
上式变为b(n+1)-bn=1/2^n
则bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
....
b2-b1=1/2
叠加bn-b1=1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)=(1/2)*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)
=1-1/2^(n-1)
bn=1-1/2^(n-1)+1=2-1/2^(n-1)

Answer 3

由a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n 两边同时除以n+1
可得a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n 由bn=an/n
可得b(n+1)-bn=1/2^n
递推得bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
b(n-1)-b(n-2)=1/2^(n-2)
.
.
b2-b1=1/2
以上各式累加的bn-b1=1/2+1/2^2+1/2^3.....+1/2^(n-1)=1/2*(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)=1-1/2^(n-1)
b1=a1/1=1 带入上式得
bn=2-1/2^(n-1) 为所求数列通项。