Question

在数列{an }中，a 1=1,an +1=(1+1/n )an +(n+1)/2n 1.设bn=an /n ,求数列{bn}的通项公式

Answer 1

因为A[n+1]=(n+1)/n×An+(n+1)/(2^n)

等式两边同时除以(n+1)可得

A[n+1]/(n+1)=An/n+(1/2)^n

即B[n+1]-Bn=(1/2)^n

即Bn-B[n-1]=(1/2)^(n-1)

B[n-1]-B[n-2]=(1/2)^(n-2)

B[n-2]-B[n-3]=(1/2)^(n-3)

.......

B3-B2=(1/2)^2

B2-B1=1/2

所以左右叠加Bn-B1=1/2+(1/2)^2+...+(1/2)^(n-1)

又因为B1=A1/1=1
==>Bn=1+1/2+(1/2)^2+...+(1/2)^(n-1)

所以Bn=1+1/2×(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)=2-1/2^n