求下列幂级数的收敛区间和收敛域∑(-1)^n*x^n/2^n+3^n*x^n
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幂级数∑(-1)^n*x^n/2^n=∑(-x/2)^n是公比为-x/2的等比级数,当|-x/2|＜1时绝对收敛,当|-x/2|＞1时发散,所以收敛半径是2,收敛区间与收敛域都是(-2,2).
幂级数∑3^n*x^n=∑(3x)^n是公比为3x的等比级数,当|3x|＜1时绝对收敛,当|3x|＞1时发散,所以收敛半径是1/3,收敛区间与收敛域都是(-1/3,1/3).
所以,幂级数∑(-1)^n*x^n/2^n+3^n*x^n的收敛半径是min{2,1/3)=1/3,当=±1/3时,幂级数都发散,收敛区间与收敛域都是(-1/3,1/3).
幂级数∑3^n*x^n=∑(3x)^n是公比为3x的等比级数,当|3x|＜1时绝对收敛,当|3x|＞1时发散,所以收敛半径是1/3,收敛区间与收敛域都是(-1/3,1/3).
所以,幂级数∑(-1)^n*x^n/2^n+3^n*x^n的收敛半径是min{2,1/3)=1/3,当=±1/3时,幂级数都发散,收敛区间与收敛域都是(-1/3,1/3).
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