Question

关于指数函数的定积分 积分区间（0，正无穷大），被积函数为e^(-x2) 求各位微积分达人帮忙解答，谢谢^:^

Answer 1

这题没问题，可以转化为二重积分来做，
设原式=t
那么t²=∫（0，+∞）e^(-x²)dx ∫（0，+∞）e^(-t²)dt
= ∫∫e^(-x²-t²)dxdt
利用极坐标求，可以得到
t²= ∫（0,+∞）dα ∫（0，π/2）αe^(-α²)dβ
这个积分求出来结果是π/4
而且t＞0，所以原式=√π /2

Answer 2

∫(0,∞)e^(-x^2)dx=∫(0,∞)x^[2*(1/2)-1]e^(-x^2)dx=(1/2)Γ(1/2)
已知Γ(1/2)=π^(1/2) 所以该积分结果为[π^(1/2)]/2

过程为：化积分为第二类欧拉积分并用第类欧拉积分的变形式Γ(s)=∫(0,∞)x^(2*s-1)e^(-x^2)dx求解

Answer 3

首先这个是没有原函数的，只有靠一些特殊方法来做，比如夹逼法，楼上已有人提到了，另外这个几分在概率统计中是个非常重要的结论，所以你记住就行了，不用推导。

Answer 4

正无穷大有问题， 函数被积分之后是 e^2x/2在（0，无穷）