Question

已知数列{An}的前n项和为Sn,且满足An+2SnSn-1 = 0(n大于等于2),A1 = 1/2 . (1)求证: { 1/Sn }是等差数列,

已知数列{An}的前n项和为Sn,且满足An+2SnSn-1 = 0(n大于等于2),A1 = 1/2 .

(1)求证: { 1/Sn }是等差数列,

(2)求An的表达式.
(3)求证：S1的平方+S2的平方+S3的平方+……+Sn的平方≤1/2-1/4n

Answer 1

(1) An=Sn-S(n-1)
Sn-S(n-1)+2SnS(n-1)=0
1/S(n-1)-1/S(n)+2=0
1/S(n)=1/S(n-1)+2
{ 1/Sn }是等差数列,d=2.1/S1=1/A1=2, 1/Sn=2n
(2)Sn=1/(2n)
An=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/(2(n-1))=-1/[2n(n-1)]
(3)S1^2+...Sn^2=1/4[1+1/2^2+...1/n^2]<=1/4[1+1/1x2+1/2x3+...1/(n-1)n]=1/4[1+1/1-1/2+1/2-1/3+..1/(n-1)-1/n]=1/4[2-1/4]=1/2-1/4n

Answer 2

（1）证明：因为an+2Sn*Sn-1=0，an=Sn-Sn-1，得：
sn-sn-1+2sn*sn-1=0
所以1/sn-1-1/sn+2=0
得： 1/sn - 1/sn-1=2 得证
(2)解：由（1）得：1/sn=2*（n-1）+1/s1=2n-2+2=2n
所以 sn=1/(2n) 故sn-1=1/(2n-2)
所以an=sn-sn-1=1/(2n)-1/(2n-2)=-1/(2n(n-1))]
(3)证明：用数学归纳法即可

Answer 3

(1)
当n>=2，An+2SnSn-1
=
0，An=Sn-Sn-1，代入得
Sn-Sn-1
+2SnSn-1=0
①
若Sn=0，则Sn-1=0，则An=0，这与A1=1/2矛盾，故Sn≠0
①两边同除以SnSn-1得：1/Sn
-
1/Sn-1
=
2，1/Sn为等差数列