Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn*Sn-1=0，a1=1/2。求证：{1/Sn}是等差数列

Answer 1

证明：由an+2Sn*Sn-1=0得到：an=-2Sn*Sn-1，（由a1=1/2得到an，Sn，Sn-1 不可能为0）
将此等式两边去倒数得到：1/an=（1/2）*（1/sn-1/sn-1）*（1/an）
整理得；1/sn-1/sn-1=2
即说明1/sn是等差数列。

Answer 2

an+2Sn*Sn-1=0
其中an=Sn-Sn-1代入上式：
Sn-Sn-1+2Sn*Sn-1=0
a1＝1/2,故Sn和Sn-1≠0，上式两边同除以Sn*Sn-1得：
1/Sn-1-1/Sn+2＝0
即：1/Sn-1/Sn-1＝2
{1/Sn}为等差数列，公差为2,首项1/S1=1/a1＝2
1/Sn=2+2(n-1)=2n
Sn=1/2n