Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn*S(n-1)=0 (n>=2),a1=0.5. (1)求证：{1/Sn}是等差数列 （2）求an

详细一点

Answer 1

（1）证明：因为an=sn-s(n-1)
所以有sn-s(n-1)+2sn*s(n-1)=0，即sn-s(n-1)=-2sn*s(n-1)
同时除以2sn*s(n-1)
整理得 1/sn-1/s(n-1)=2
又因为s1=a1=0.5
所以1/sn是以2为首项，2为公差的等差数列
所以1/sn=2n
(2)由(1)得 sn=1/2n
所以当n》2时 an=sn-s(n-1)=1/2n-1/(2n-2)=-1/(2n^-2n)
因为n=1不满足
综上所述
当n=1时 an=0.5
当n=2时 an=1/2n-1/(2n-2)=-1/(2n^-2n)

Answer 2

(1)an+2Sn*S(n-1)=0
Sn-S(n-1)+2Sn*S(n-1)=0
Sn-S(n-1)=-2Sn*S(n-1)
两边同时除以-Sn*S(n-1)
得1/Sn-1/S(n-1)=2
1/S1=1/a1=2
故{1/Sn}是以2为首项，2为公差的等差数列。
（2）1/Sn=2+2(n-1）=2n
Sn=1/(2n) ,S(n-1)=1/2(n-1)
an=Sn-S(n-1)=1/2n-1/2(n-1)=-1/[2n(n-1)] (n>=2)
an=0.5 (n=1)