Question

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an2+an，数列{bn}满足b1=1，2bn-bn-1=0（n≥2，n∈N *）（Ⅰ）求

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an2+an，数列{bn}满足b1=1，2bn-bn-1=0（n≥2，n∈N *）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）n=1时，2S₁=2a1=a₁²+a₁，
a₁²-a₁=0，解得a₁=0（各项均为正数，舍去）或a₁=1，
n≥2时，
2S_n=a_n²+a_n，
2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
2S_n-2S_n-1=2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1
a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-（a_n+a_n-1）=0
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵数列各项均为正，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴a_n=1+n-1=n．
（2）∵数列{b_n}满足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N ^*），
∴{b_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，
∴bn＝(

1

2

)n?1．
∴c_n=a_nb_n=n?(

1

2

)n?1，
∴T_n=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n?(

1

2

)n?1，①

1

2

T_n=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n?(

1

2

)n，②
①-②，得：

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n?1?n?(

1

2

)n
=

1?( 1 2 )n

1? 1 2

-n?(

1

2

)n
=2-（n+2）?（

1

2

）ⁿ
∴Tn＝4?(2n+4)?(

1

2

)n．