Question

在直角梯形ABCD中，AB//DC,<D=90°，AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，

点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为T秒（0<T<5)四边形AFEC的面积为Y,求Y与T的函数关系式？并求出Y的最小值？
E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为T秒（0<T<5)四边形AFEC的面积为Y,求Y与T的函数关系式？并求出Y的最小值？

Answer 1

您提问的原题是：（2010 湖南湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB‖DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值。

以您的提问为主，咱们重点探究第（3）问，但第（1）、（2）问也顺手牵羊解决吧！

解：（1）求证：△ACD∽△BAC
∵ AB‖DC
∴ ∠DCA = ∠CAB

∵ AC⊥BC
∴ ∠BCA = 90°
而已知 ∠D = 90°

∴ ∠D = ∠BCA

在△ACD 和 △BAC 中，
∠DCA = ∠CAB （已证）
∠D = ∠BCA （已证）
∴ △ACD ∽ △BAC

（2）求DC的长
由第（1）问知： △ACD ∽ △BAC
∴ AC ：BA = DC ：CA
∴ 8 ：10 = DC ： 8
∴ DC = （8 × 8）/ 10
= 32/5 或 6.4

还可以用另外的方法求DC的长：
∵ AB‖DC
∴ ∠DCA = ∠CAB

在Rt△CAB 中，
由勾股定理得：AC = 8
∴ cos∠CAB = AC/AB
= 8/10
= 4/5

由∠DCA = ∠CAB 得：
cos∠DCA = cos∠CAB = 4/5

∴ 在Rt△DCA 中，由cos∠DCA = DC/AC 得：
DC = AC × cos∠DCA
= 8 × （4/5）
= 32/5 或 6.4

（3）求Y 关于T的函数关系式，并求出Y的最小值。
解题思路：用Rt△CAB 的面积 减去 △EFB的面积 即可。

Rt△CAB 的面积 为 S△CAB = （1/2）× BC × AC
= （1/2）× 6 × 8
= 24

过点E 作 EH ⊥ FB 于点H，
在Rt△CAB 中，
sin∠B = AC/AB
= 8/10
= 4/5

在 Rt△EHB 中，BE = T，
由 sin∠B = EH/BE 得：
EH = BE × sin∠B
= T × （4/5）
= 4T/5

∴ △EFB的面积 为
S△EFB =（1/2）× FB × EH
=（1/2）× （AB -- AF）× EH
=（1/2）× （10 -- 2T） × EH
=（1/2）× （10 -- 2T） × （ 4T/5）
= （5 -- T）× （ 4T/5）

∴ Y = S△CAB -- S△EFB
= 24 --（5 -- T）× （ 4T/5）
= 24 +（T -- 5）× （ 4T/5）
= （4/5）× T平方 -- 4T + 24
= （4/5）×（T平方 -- 5T + 30）
= （4/5）× [（T -- 5/2）平方 -- 25/4 + 120/4 ]
= （4/5）× [（T -- 5/2）平方 + 95/4 ]
= （4/5）×（T -- 5/2）平方 + 19
显然，该该二次函数 当 T = 5/2 时，能取到最小值 19。
而 T = 5/2 在 自变量的取值范围（0<T<5）之内，
所以，Y 关于T的函数关系式为：
Y = （4/5）×（T -- 5/2）平方 + 19
Y的最小值 为 19（平方厘米）。

注：① 凡求解牵涉到实际问题的二次函数的表达式，
一定注意 自变量的取值范围；
② 平时解题，一定注意有意识地训练自己“快速形成思路“
和 “快速形成卷面”；
③ 回答者 不宜 为 提问者 照搬答案。

Answer 2

解：（1）∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA
又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC．
（2）Rt△ABC中，AC=AB2-BC2=8cm，
∵△ACD∽△BAC，∴DCAC=ACAB，
即DC8=810，解得：DC=6.4cm．
（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，
∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共，
∴△ACB∽△EGB，
∴EGAC=BEAB，即EG8=t10，故EG=45t；
y=S△ABC-S△BEF
=12×6×8-12(10-2t)•45t=45t2-4t+24
=45(t-52)2+19；
故当t=52时，y的最小值为19．
点评：此题考查了梯形的性质、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法以及二次函数最值的应用等知识，能够将面积问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．

Answer 3

提示：画个图可以看到，四边形AFEC的面积＝三角形ABC的面积－三角形BFE的面积
三角形ABC的面积可以直接算出，只要将三角形BFE的面积用T表示出来就可以了

追问

图片上传不了啊，三角形BEF的面积怎么用T表示啊

Answer 4

首先，S(ABC)=1/2*6*8=24cm^2
对三角形FBE，以BE为底，高记作FH(h)。
三角形ABC相似于三角形FBH，所以AB/FB=AC/h，又FB=10-2T，所以h=8-8/5T
S(FBE)=1/2*BE*h=1/2*T*(8-8/5T)=4T-4/5T^2
最后，S(AFEC)=S(ABC)-S(FBE)=24-4T+4/5T^2=4/5T^2-4T+24
即Y=4/5T^2-4T+24 (A)
抛物线开口向上，最低点横坐标为-b/(2a)=2.5
T=2.5代入（A）式得：Y(min)=19cm^2.