Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠D=90°，AB=10cm，BC=6cm，AB∥CD，AC⊥BC，F点以2cm/s的速度在线段AB上由A向

如图，在直角梯形ABCD中，∠D=90°，AB=10cm，BC=6cm，AB∥CD，AC⊥BC，F点以2cm/s的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/s的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动的时间为t（0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）当t为何值时，△FEB与△ABC相似？

Answer 1

（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA
又∵AC⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC；

（2）解：由（1）知：△ACD∽△BAC；
∴

DC

AC

＝

AC

AB

，
Rt△ACB中，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∴DC=

AC2

AB

=6.4cm；

（3）解：本题分两种种情况：
①若△FBE∽△ABC，则

FB

AB

＝

BE

BC

即

10?2t

10

＝

t

6

，
解得t=

30

11

s；
则

BF

BC

＝

BE

AB

即

10?2t

6

＝

t

10

，
解得t=

50

13

s；
综上所述，当t=

30

11

s或t=

50

13

s时，△FEB与△ABC相似．