Question

如何理解差分方程的通解？

Answer 1

数三差分方程的通解公式是f(x)=(2^t)/3+C(-1)^x，其中C为一切实数。
推导时先求齐次的通解，再求非齐次的特解，合起来就是通解了。

推导过程如下：

齐次的解令等号右边为0，即f(x+1)-(-f(x))=0 其通解根据公式可得是f(x)=C(-1)^x
非齐次的解采用一般法。在对于形如f(t+1)-af(t)=cb^t的差分方程，若a不等于b，可以设其特解为f*(t)=kb^t
代入原式可得kb^(t+1)-akb^t=cb^t
解得k=c/(b-a)
即解为y=(cb^t)/(b-a)
a=-1,b=2,c=1
所以f(x)的特解为(2^t)/3
所以f(x)的通解为(2^t)/3+C(-1)^x，C为一切实数。

例题：