Question

已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A,C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0)线段AB与y轴相交于点D，以P（1

，0）为顶点的抛物线过点B,D.设点Q(x,y)为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ·BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？

Answer 1

解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=BC=m，OA=m-3，

∴点A的坐标是（3-m，0）．

∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m-3，则点D的坐标是（0，m-3）．

又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，

所以可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）^2，将D，B坐标代入：

a(3-1)^2=m，a(0-1)^2=m-3，得：a=1，m=4。

∴抛物线的解析式为y=x^2-2x+1，B坐标(3,4)，A(-1,0)；

过点Q作QM⊥AC于点M，设点Q的坐标是（x，x^2-2x+1），

则PM=(x-1)，QM= x^2-2x+1，MC=(3-x)，

∴S（ABQP）=S（△ABC）-S（△PQM）-S（梯形BCMQ）

    =1/2*4*4-1/2(x-1)( x^2-2x+1)-1/2(3-x)*( x^2-2x+1+4)

=-x^2+4x+1=-（x-2）^2+5，

所以当x=2时，四边形ABQP的面积最大为5。