Question

有关数学的问题！

1.已知如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的圆O交AB于E,过点E作EG⊥AC于G交BC的延长线于F。
（1）求证：AE=BE；（2）求证：EF是圆O的切线；（3）若BC=6,FE=4，求证FC和AG的长。

Answer 1

你好，飞猪迷：

解：
(1)
连接CE、OE
∵BC是⊙O的直径
∴∠BEC＝90°
∴CE⊥AB
又∵AC＝BC
∴AE＝BE

(2)
由(1)可知：
AE＝BE
又∵OB＝OC
∴OE是△ABC的中位线
∴OE‖AC
∴∠OEC＝∠ACE
又∵EG⊥AC
∴∠CEG＋∠ACE＝90°
∴∠CEG＋∠OEC＝90°＝∠OEF
∴OE⊥EF
∴EF是⊙O的切线

(3)
由(2)可知：
∠OEF＝90°
∵∠BEC＝90°
∴∠OEF＝∠BEC
∴∠OEF－∠OEC＝∠BEC－∠OEC
即：∠CEF＝∠OEB
∵OB＝OE
∴∠OBE＝∠OEB
∴∠CEF＝∠OBE
又∵∠F＝∠F
∴△ECF∽△BEF
∴EF/CF＝BF/EF
即：EF²＝CF•BF
设CF＝x，则有：
x(6＋x)＝4²
x²＋6x＝16
x²＋6x＋9＝16＋9
(x＋3)²＝25
x＋3＝±5
x＝±5－3
∴x1＝2，x2＝－8(负值不合题意，舍去)
∴CF＝2
∵OE‖AC
∴CG/OE＝CF/OF
∴CG/3＝2/(3＋2)
解得：CG＝6/5
∴AG＝AC－CG＝6－(6/5)＝24/5

Answer 2

1；连接CE。因为BC是直径，所以∠CEB=90度，又因为AC=BC，所以CE⊥平分AB。
AE=BE
2：BC的中点D，也就是圆心。，E是AB 的中点，所以ED‖AC .EG⊥ED
所以FE是圆O的切线 .
3:根据切割线定理：EF^2=BF*FC
设FC=x
16=(x-6)x
x^2-6x-16=0
x=8