Question

高一必修五数列 大题

在数列{An}中 An=（n+1)(10/11)的n次方 n为正整数
①求证数列{An}先递增后递减
②求数列{An}的最大项

Answer 1

解：(1)解两个方程an+1≤an ，an-1≤an
解得n只有一个一个解，即得证
答案补充：an-1≤an，解得的n，对于1~n，前一项都小于后一项
同理，an+1≤an解得的n，对于n~+无穷，前一项都大于后一项
若两者解得的n相同，则1~n增，n~+无穷减，所以就得证了~
(2)y=(x+1)(10/11)^x
y'=(10/11)^x*[1+(x+1)ln(10/11)]=0
(x+1)ln(10/11)=-1
解得：x=9.5
而a9=10*(10/11)^9=4.24
a10=11*(10/11)^10=3.85
故n=9时，最大项=4.24

分析：An+1/An=[(n+2)(10/11)^n+1]/[(n+1)(10/11)^n]=[(n+2)/(n+1)]*(10/11)=(10n+20)/(11n+11)
当10n+20大于11n+11时，n小于9，An+1大于An，递增
当10n+20等于11n+11时，n等于9，An+1等于An，最大n=9时为（10/11）^8
当10n+20小于11n+11时，n小于9，An+1小于An，递减
所以最大是第九项
遇到这样的题，先看单调性，就可以了
希望能帮到你 O(∩_∩)O~

Answer 2

解：① A(n+1)/An=(10n+20)/11n
令(10n+20)/11n>1 => n<20
令 (10n+20)/11n<1 => n>20
所以数列{An}先递增后递减
②数列{An}先递增后递减
最大项即为A20=21*(10/11)^20

Answer 3

思路分析： 由数列的后项与其前一项的差判断各项的大小

Answer 4

A(n+1)-An=(n+2）（10/11）^(n+1)-（n+1）(10/11)^(n)=(10/11)^n(10/11n+20/11-n-1)=(10/11)^n*(9/11-1/11n)
当n<9 增 当n>10 减 A9=A10

有上 A9和A10最大