Question

已知啊，b,c.均为正数。求证：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c.

Answer 1

证：
bc/a+ac/b+ab/c
=abc/a²+abc/b²+abc/c²
=abc(1/a²+1/b²+1/c²)
(1/a-1/b)²≥0 1/a²+1/b²≥2/ab (1)
(1/b-1/c)²≥0 1/b²+1/c²≥2/bc (2)
(1/a-1/b)²≥0 1/a²+1/c²≥2/ac (3)
(1)+(2)+(3)
2/a²+2/b²+2/c²≥2/ab+2/bc+2/ca
1/a²+1/b²+1/c²≥1/ab+1/bc+1/ca
bc/a+ac/b+ab/c≥abc(1/ab+1/bc+1/ca)=a+b+c
bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c
当a，b，c为互不相等的正实数时，bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c
如果你想要证的是bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c，还需要补充“a，b，c互不相等”这个条件。

Answer 2

当a、b、c都是正数时，
2[(bc/a+ac/b+ab/c)-(a+b+c)]
=[(a²b²-2a²bc+a²c²)+(a²b²-2ab²c+b²c²)+(a²c²-2abc²+b²c²)]/(abc)
=[a²(b²-2bc+c²)+b²(a²-2ac+c²)+c²(a²-2ab+b²)]/(abc)
=[a²(b-c)²+b²(a-c)²+c²(a-b)²]/(abc) ≥ 0

若a、b、c中至少有一个与其他两个不相等，即有：
bc/a+ac/b+ab/c > a+b+c

若a=b=c > 0，则有：bc/a+ac/b+ab/c = a+b+c