Question

求二阶非齐次线性微分方程

Answer 1

特征方程 t^2-3t-4=0，根 t1=-1，t2=4，
齐次方程通解 y=C1e^(-x)+C2e^4x，
设特解 y=e^x * (asinx+bcosx)，

则 y'=e^x(asinx+bcosx)+e^x(acosx-bsinx)=e^x[(a-b)sinx+(a+b)cosx]，
y''=2e^x(-bsinx+acosx)，
代入得 e^x[(-2b-3a+3b-4a)sinx+(2a-3a-3b-4b)cosx]=e^x[2sinx+cosx]，
比较系数得 -2b-3a+3b-4a=2，2a-3a-3b-4b=1，
解得 a=-3/10，b=-1/10，
所以原方程通解为 C1e^(-x)+C2e^(4x)-1/10 * e^x * (3sinx+cosx) 。