Question

抛物线Y=X2+ax+c与x轴交于A,B两点与y轴交于点c(0,2),连接AC.若tan<OAC=2(1)求函数的解析式？

（2）在抛物线的对称轴L上是否存在点p,使△APC的周长最小，若纯在，求出p的坐标？若不存在说明理由？（3）如图（2）连接BC,M是线段BC上（不予B,C重合）的一个动点过点M做直线L'//L交抛物线于点N连接CN,BN,设点M的横坐标为t，△BCN的面积为S,求出S关于t的关系式，并求出当t 为何值时，△BCN的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

解：（1）
∵ 抛物线与y 轴交于点C（0， 2）
∴ 把x = 0、y = 2 代入 y = x2 + ax + c，得：
c = 2 （此时抛物线解析式为y = x方 + ax + 2）
∴ C、O 两点间的距离为 OC = 2

∵ tan∠OAC = 2
∴ 在Rt△OAC 中，
tan∠OAC = OC / OA = 2
∴ 2 / OA = 2
∴ OA = 1
∴ 点A 坐标为： A（1， 0）

把x = 1、y = 0 代入 y = x方 + ax + 2，得：
0 = 1 + a + 2
∴ a = -- 3

∴ 该二次函数函数的解析式为：y = x方 -- 3x + 2

（2）在抛物线的对称轴L上存在点P，使得△APC的周长最小，
点P的坐标为：P（3/2， 1/2）。理由如下：

该二次函数函数的解析式为：y = x方 -- 3x + 2
也可写为：y = （x -- 3/2）方 -- 1/4，
显然，其对称轴为：X = 3/2。

∵ 点P 在对称轴上
∴ 点P的横坐标为 3/2。

本问中一个重要环节，要求在直线 L 上 找一点P，
使得点P 到直线 L 同旁 的两点A和C 的距离之和（PA + PC）最小，
方法是：先求出点C 关于 L 的对称点C' ，
连 AC‘ 交 L 于 点P，则 点P 即为所求。
当然，求出点A 关于 L 的对称点A’ ，连CA‘ 交 L 于 点P，亦可。

方法①： 设点C关于 L 的对称点为C' ，
∵ 点C 和 点C’ 关于 L 对称，且二者均在抛物线上
∴ 二者的纵坐标相同，而点C纵坐标为2
∴ 点C‘ 的纵坐标为2。
把 y = 2 代入 y = x方 -- 3x + 2 ，得：x = 0 或 3。
∴ 点C’ 的横坐标为 3。（x=0表示点C的横坐标）
∴ 点C‘ 的坐标为：C’（3， 2）。

易求得 经过 A、C‘ 两点的直线表达式为：y = x -- 1
直线 y = x -- 1 与 L 的交点 即为 点P。
把点P的横坐标x = 3/2 代入 y = x -- 1，得：y = 1/2。

∴ 点P 的坐标为：P（3/2， 1/2）

方法②：∵ 抛物线与x 轴 交于A、B 两点
∴ A、B 两点 关于 对称轴 L 对称
该二次函数函数的解析式为：y = x方 -- 3x + 2 ，
也可写为： y = （x -- 1）（x -- 2）
令 y = 0，得：x = 1 或 x = 2
∴ A、B 两点的横坐标分别为 1 和 2。
点A（1， 0）关于对称轴 L 的对称点B的坐标为：B（2， 0）。

易求得 经过 B、C 两点的直线表达式为：y = -- x + 2
直线 y = -- x + 2 与 L 的交点 即为 点P。
把点P的横坐标x = 3/2 代入 y = -- x + 2，得：y = 1/2。

∴ 点P 的坐标为：P（3/2， 1/2）。

（3）本问重点是 求出 线段MN 的长度。

∵ 点M、N 均在 平行于 y 轴 的直线 L’ 上，
∴ 点M、N 的横坐标相同，均为 t 。

∵ 点N 在抛物线上 且 点N的横坐标为 t，
∴ 把 x = t 代入 y = x方 -- 3x + 2 ，得：y = t方 -- 3t + 2。
∴ 点N的纵坐标为：t方 -- 3t + 2。

∵ 点M在直线BC（y = -- x + 2）上 且点M的横坐标为 t，
∴ 把 x = t 代入 y = -- x + 2 ，得：y = -- t + 2。
∴ 点M的纵坐标为： -- t + 2。

由图知：M 始终在 N的上方
∴ M、N 两点间的距离为 点M的纵坐标 减去 点N的纵坐标。
（这一方法 类似于 求数轴上两点间的距离，用右边的大值减去左边的小值）

∴ MN = （-- t + 2）--（t方 -- 3t + 2）
= -- t + 2 -- t方 + 3t -- 2
= 2t -- t方

由题意，点C 到 MN 的距离为 t，
点B 到 MN 的距离为（2 -- t），

∴S = S△CMN + S△BMN
=（1/2）× t ×（ 2t -- t方）+ （1/2）× （2 -- t） ×（ 2t -- t方）
=（1/2）× 2 ×（ 2t -- t方）
= -- t方 + 2t
= -- （t方 -- 2t）
= -- （t -- 1）方 + 1

∴ △BCN的面积S关于t的关系式为：S = -- （t -- 1）方 + 1 （0＜ t ＜2）
当 t = 1 时，S 取到最大值，面积最大值为 1 。

祝您学习顺利！