Question

x,y,z∈(0,1),且x+y+z=2,求证1<xy+yz+zx≤4/3

Answer 1

先证右边。
易知任意实数x，y，z都有x²+y²+z²≥xy+yz+zx。
(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)≥3(xy+yz+zx)
∴xy+yz+zx≤(x+y+z)²/3=4/3。
再证左边。
xy+yz+zx
=xy+(x+y)(2-x-y)
=-x²+2x-xy+2y-y²
=-(1-x)²+y(1-x)+y-y²+1
=(1-x)(x+y-1)+y(1-y)+1
由已知z=2-x-y∈(0,1)，得x+y-1>0，1-x>0，1-y>0，y>0，于是xy+yz+zx>1。
命题得证。