若关于X的一元二次方程x²-mx+m/2-1/4=0有两个相等的实数根则M的值是多少?

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小艺数码达人
2023-02-24 · 超过96用户采纳过TA的回答
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关于 $x$ 的一元二次方程为 $x^2-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$,设方程的两个实数根为 $x_1$ 和 $x_2$。
因为方程有两个相等的实数根,所以有 $x_1=x_2$,即两根的平均值等于其中任意一个根,即 $\frac{x_1+x_2}{2}=x_1$。
根据二次方程求根公式,方程的两个根为 $x_1=\frac{m+\sqrt{m^2-2m+1}}{2}$ 和 $x_2=\frac{m-\sqrt{m^2-2m+1}}{2}$。
代入 $\frac{x_1+x_2}{2}=x_1$,可得 $\frac{m}{2}=x_1$,即 $m=2x_1$。
代入 $x_1=\frac{m+\sqrt{m^2-2m+1}}{2}$,得 $x_1=\frac{m+\sqrt{4x_1^2-2(2x_1)+1}}{2}$,整理可得 $4x_1^2-2(2x_1)+1=m^2$。
代入 $m=2x_1$,得 $4x_1^2-4x_1+1=4x_1^2$,即 $x_1=\frac{1}{4}$。
代入 $m=2x_1$,得 $m=\frac{1}{2}$。
因此,当关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$ 有两个相等的实数根时,$m=\frac{1}{2}$。
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