Question

若关于X的一元二次方程x²-mx+m/2-1/4=0有两个相等的实数根则M的值是多少？

Answer 1

关于 $x$ 的一元二次方程为 $x^2-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$，设方程的两个实数根为 $x_1$ 和 $x_2$。
因为方程有两个相等的实数根，所以有 $x_1=x_2$，即两根的平均值等于其中任意一个根，即 $\frac{x_1+x_2}{2}=x_1$。
根据二次方程求根公式，方程的两个根为 $x_1=\frac{m+\sqrt{m^2-2m+1}}{2}$ 和 $x_2=\frac{m-\sqrt{m^2-2m+1}}{2}$。
代入 $\frac{x_1+x_2}{2}=x_1$，可得 $\frac{m}{2}=x_1$，即 $m=2x_1$。
代入 $x_1=\frac{m+\sqrt{m^2-2m+1}}{2}$，得 $x_1=\frac{m+\sqrt{4x_1^2-2(2x_1)+1}}{2}$，整理可得 $4x_1^2-2(2x_1)+1=m^2$。
代入 $m=2x_1$，得 $4x_1^2-4x_1+1=4x_1^2$，即 $x_1=\frac{1}{4}$。
代入 $m=2x_1$，得 $m=\frac{1}{2}$。
因此，当关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0$ 有两个相等的实数根时，$m=\frac{1}{2}$。