Question

在数列an中,a1=2,a(n+1)=an/2+1/an,试证:根号2<an<根号2+1/n（要用数学归纳法证明）

Answer 1

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证明如下：

Answer 2

已知数列{an}中a1=2,a(n+1)=(根号2-1）*（an+2),n∈1，2，3，...
若数列{bn}中b1=2,b(n+1)=(3bn+4)/(2bn+3),n∈1，2，3，....，证明：根号2<bn<=a(4n-3),n=1，2，3，...
解：an=(根号2-1)((an-1)+2)
an-1=(根号2-1)((an-2)+2)==> (根号2-1)(an-1)=(根号2-1)^2((an-2)+2)
an-2=(根号2-1)((an-3)+2)==> (根号2-1)^2(an-2)=(根号2-1)^3((an-3)+2)
...... ......
a3=(根号2-1)((a2)+2)==> (根号2-1)^(n-3)(a3)=(根号2-1)^(n-2)((a2)+2)
a2=(根号2-1)((a1)+2)==> (根号2-1)^(n-2)(a2)=(根号2-1)^(n-1)((a1)+2)
所有式子相加得（左右两边可以相约相同的项）
an=2（1+(根号2-1)+(根号2-1)^2+。。+(根号2-1)^(n-1))-(根号2-1)^(n-1)(a1) [等比数列n项和]（a1（1-q^n）/(1-q)）
=2X(1-(2-根号2)^n)/(2-根号2)-2X（根号2-1)^(n-1)
化简得an=（2+根号2）[1-(根号2-1)^n]-2（根号2-1）^n-1

仅供参考

追问

抱歉，看不懂额，请用数学归纳法证明

追答

数学归纳法证明如下