Question

在数列an中，已知a1=2，an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和<3（an=2的n次方除以2的n次方 -1

Answer 1

证：
a(n+1)=2an/(an+1)
1/a(n+1)=(an+1)/(2an)=(1/2)(1/an)+1/2

1/a(n+1) -1=(1/2)(1/an) -1/2=(1/2)(1/an -1)
[1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/2，为定值。
1/a1 -1=1/2 -1=-1/2，数列{1/an -1}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
1/an -1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2ⁿ
1/an=1 -1/2ⁿ=(2ⁿ-1)/2ⁿ
an=2ⁿ/(2ⁿ-1)
b1=a1(a1-1)=2×(2-1)=2
bn=an(an-1)=[2ⁿ/(2ⁿ-1)][2ⁿ/(2ⁿ-1) -1]=2ⁿ/(2ⁿ-1)²
b(n+1)/bn={2^(n+1)/ [2^(n+1) -1]²}/[2ⁿ/(2ⁿ-1)²]
=2×{(2ⁿ-1)/[2^(n+1) -1]}²
=2×{(1/2)[2^(n+1)-2]/[2^(n+1)-1]}²
=(1/2)×{1- 1/[2^(n+1) -1]}² /这一步是把括号里的1/2拿到括号外，括号里化简
<(1/2)×(1-0)² /这一步是放缩
=1/2
n=1时，b1=2<3
n≥2时，
b1+b2+...+bn<2+(4/9)×[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2) /这一步是将第二项及以后的和放缩
=2+8/9 -(8/9)×(1/2)^(n-1)
<2+8/9 /这是第三次放缩
=26/9<3
b1+b2+...+bn<3，不等式成立。