Question

已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
（3）设AD=2，AE=1，求⊙O直径的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD OC
∵AC是圆的切线，且D是切点
∴∠CDO=90°
∴∠CDO=∠ABC=90°
∵OD和OB都是圆的半径
∴OD=OB
又∵CO是△CDO和△CBO的公共边
∴△CDO≌△CBO（HL）
∴BC=CD
（2）∵EB是圆的直径，D是圆上一点
∴∠EDB＝90°
∴∠ADE+∠CDB=90°
∵∠ABC=∠ABD+CBD=90°
∵CD=CB
∴∠CDB=CBD
∴∠ADE=∠ABD
（3）∵△ADO是直角三角形
OD=OE=圆的半径
设OD=x
根据勾股定理：22+x2=（1+x)2
x=3/2
∴圆的直径等于3

Answer 2

（1）证明：连接CO
AC是圆切线，所以CD⊥DO，∠CDO=90
在△COD和△COB中
∠CDO=∠CBO=90
OD=OB
CO=CO
所以△CDO≌△CBO
BC=CD
（2）连接DO，延长DO交圆于F。连接BF
AD是切线，所以∠ADF=90。即∠ADE+∠EDF=90
DF是直径，所以∠DBF=90，即∠DBE+∠EBF=90
因为∠EDF和∠EBF所对的弧都是弧EF
因此∠EDF=∠EBF
所以∠DBE（∠ABD）=∠ADE
（3）在△ABD和△ADE中
∠A=∠A，∠ADE=∠ABD。因此两三角形相似
AE/AD=AD/AB
AB=AD²/AE=4
直径BE=AB-AE=3