Question

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Answer 1

(1)从A点做MN垂线，交MN于E
DM=BN，∠D=∠B=90，AD=AB
△ADM≌△ABN
所以∠DAM=∠BAN。
AM=AN。△AMN是等腰三角形
因此AE平分∠MAN。
∠MAN=45，∠MAE=22.5
∠DAM+∠BAN=90-45=45，所以∠DAM=22.5=∠MAE
简单有△DAM≌△EAM。EM=DM
因此DM=BN=EM=EN
设DM为X，则MN=2X，CM=CN=2-X
在直角三角形MCN中
（2-X）²+（2-X）²=（2X）²
X²+4X-4=0
X=2√2-2
（2）将三角形DAM顺时针旋转90度，使AD与AB重合
得三角形ABP
∠NAP=∠NAB+∠BAP=∠NAB+∠DAM=90-∠MAN=45
所以，∠NAP=∠MAN
且AP=AM，AN=AN
因此△NAP≌△NAM，NP=NM
又NP=BN+BP=BN+DM，所以BN+DM=MN
（3）从A做AH垂直MN
已证△NAP≌△NAM，所以∠P=∠AMN。则∠AMN=∠AMD
在△ADM和△AHN中
∠AHM=∠ADM=90，∠AMN=∠AMD，AM=AM
所以△AHM≌△ADM
AH=AD=AB
因此点A到直线MN距离为AB，等于圆半径
所以MN和圆相切

Answer 2

1、当DM=BN时，易证Rt△ADM≌Rt△ABN，∠DAM=∠BAN=(90-45)÷2=22.5°，连接AC，在等腰直角三角形ADC中，AM是∠DAC的平分线，DC=2， 那么DM=2/(1+√2）=2（√2-1）=2√2-2≈0.8284。
2、在CB的延长线上取一点E，使BE=DM，连接AE，则Rt△ABE≌Rt△ADM， BE=DM，AE=AM，∠BAE=∠DAM，于是∠NAE=∠NAB+∠DAM=90-45=45=∠NAM，△NAE≌△NAM，所以NE=NM，就是DM+NB=MN。
3、由上可知∠ANM=∠ANE，即NA是∠MNB的平分线，过A作AF⊥MN，垂足为F，有AF=AB，那么以A为圆心以AB为半径的⊙A与NB相切于B，也就必与MN相切于F。

Answer 3

（1）解：∵DM=BN 又∵AD=AB
∴ tan∠DAM=tan∠BAN
又∵∠DAM+∠BAN+∠MAN=90°
∴∠DAM=∠BAN=22.5°
DM=DA*tan∠DAM=2*（√2-1）

（2）解：MA^2=DM^2+4
NA^2=NB^2+4
由余弦定律 MN^2=AM^2+AN^2-2AM*AN*cos45°
得MN=DM+BN

（3）解：S△AMN=1/2*AM*AN*sin45°=1/2*MN*h
将（2）中等式代入解得h=2
则圆A与线段MN相切