Question

用反证法证明：a.b.c.d都是实数。且满足a+b=1，c+d=1，ac+bd>1,则a.b.c.d.四个数中至少有一个是负数

如题

Answer 1

设a.b.c.d.四个数都不是负数
即a，b，c，d>=0
由a=1-b>=0所以0=<a<=1,同理0=<a,b,c,d<=1
因ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=1+2ac-(a+c)
又0=<a<=1,0=<c<=1知2ac<=a+c
所以ac+bd<=1+2ac-2ac=1这与已知条件矛盾

Answer 2

要证...只需证....a,b,c,d>=0不成立
若a,b,c,d>=0，则a=1-b>=0------0<=a<=1,同理0<=a,b,c,d<=1
因ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=1+2ac-(a+c)
又因0<=a,c<=1所以2ac<=a+c
所以ac+bd<=1+2ac-2ac=1...与已知矛盾...

Answer 3

假设a,b,c,d中没有一个是负数，即都≥0，则（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd=(ac+bd)+(ad+bc)=1,由于ad+bc≥0，ac+bd一定≤1，与条件矛盾，从而不成立，得证！