Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AE是BC边上的中线，AE是BC边上的中线，过点C作AE的垂线CF，垂足为F。

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AE是BC边上的中线，AE是BC边上的中线，过点C作AE的垂线CF，垂足为F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D。
（1）试说明：AE=CD
（2）若AC=12，求BD的长。

Answer 1

⑴因为△EFC∽△ECA所以∠ECF=∠CAE，又因为AC=BC,∠BCA=∠DBC，所以△ACE全等于△CBD，所以AE=CD
⑵6

Answer 2

∵∠DBC=90°
∴∠D+∠DCB=90°
又∵∠CFE=90°
∴ ∠DCB+∠FEC=90°
∴∠D=∠FEC
∵∠ACE=∠DBC=90°
AC=BC
∴△ACE≌△CBD
∴AE=CD
∵AC=12
∴BC=12
∵AE为中线
∴CE=BE=6
∵△ACE≌△CBD
∴BD=CE=6

Answer 3

∵∠DBC=90°
∴∠D+∠DCB=90°
又∵∠CFE=90°
∴ ∠DCB+∠FEC=90°
∴∠D=∠FEC
∵∠ACE=∠DBC=90°
AC=BC
∴△ACE≌△CBD
∴AE=CD
∵AC=12
∴BC=12
∵AE为中线
∴CE=BE=6
∵△ACE≌△CBD
∴BD=CE=6

Answer 4

证明：
∵BD⊥BC，CF⊥AE
∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°
∴∠D＝∠AEC
又∠DBC＝∠ACE＝90°，AC＝BC
∴△DBC≌△ECA(AAS)
∴AE＝CD

由上得：△DBC≌△ECA
∴BD＝EC＝1/2BC＝1/2AC
且AC＝12cm
∴BD＝1/2AC＝6cm

Answer 5

nn