Question

在三角形中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,求证a²sin2B＋b²sin2A＝2absinC

Answer 1

解：要证a²sin2B＋b²sin2A＝2absinC
即证 2sin²AsinBcosB+2sin²BsinAcosA=2sinAsinBsinC （正弦定理 二倍角公式）
即证 sinAcosB+sinBcosA=sinC （等式两边同除以2sinAsinB）
∴sin(A+B)=sinC
∵0º<A，B，C<180º
∴sin(A+B)=sinC 成立
∴ a²sin2B＋b²sin2A＝2absinC

Answer 2

证明：用分析法：a²·2sinBcosB+b²2sinAcosA=2absin（A+B）=2ab（sinAcosB+sinBcosA）∴ a²sinBcosB－absinAcosB+b²sinAcosA－absinBcosA=0 ∴acosB（asinB－bsinA） +bcosA（bsinA－asinB）=0 ∴（ asinB －bsinA ）（acosB－bcosA） =0而由正弦定理：a／sinA=b／sinB得：asinB=bsinA即asinB－bsinA=0 以上每步可逆。

Answer 3

a^2sin2B+b^2sin2A=2a*sinB*a*cosB+2b*sinA*b*cosA=2ab*(sinB/b)*a*cosB+2ab*(sinA/a)*b*cosA=2ab*(sinA/a)*(a*cosB+b*cosA)=2ab*(sinA/a)*c=2abc*(sinA/a)=2abc*sinC/c=2ab*sinC
注：上面使用了余弦定义的变形式：a*cosB+b*cosA=c

Answer 4

因为acosB＋bcosA＝c
所以2a²bcosB＋2b²acosA＝2abc
所以2a²sinBcosB＋2b²sinAcosA＝2absinC
即a²sin2B＋b²sin2A＝2absinC