Question

已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2=b（b+c）．（1）求证：∠A=2∠B；（2）若a=3b，

已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2=b（b+c）．（1）求证：∠A=2∠B；（2）若a=3b，判断△ABC的形状．

Answer 1

（1）证明：a²=b（b+c），
即BC²=AC（AC+AB），
延长CA至D，使AD=AB，连接DB．
则∠BAC=2∠D．
∴BC²=AC?CD，

BC

AC

＝

CD

BC

，
又∠C=∠C，
∴△BCA∽△DCB，故∠D=∠ABC．
∴∠BAC=2∠ABC；
（2）解：∵a=

3

b，
∴a²=3b²，
又a²=b（b+c），
∴3b²=b²+bc，c=2b．
∴a²+b²=4b²，
c²=（2b）²=4b²．
即a²+b²=c²．
△ABC为直角三角形．