Question

求一道数学题解题思路..急

设F1，F2分别是椭圆E的左右焦点（焦点在X轴上）过F1作斜率为1的直线I与E相交于A，B两点，且AF2，AB，BF2的长成等差数列。

（1）求E的离心率

（2）设点P（0，-1）满足PA=PB，求E的方程。注：1，2为脚标

Answer 1

（1）AB的方程：y=x+c；将AB和椭圆的方程联立，根据名字好像是叫韦达定理的公式就可以得出x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2的表达式，当然都带着abc，这里可以用a^2=b^2+c^2来消掉b，因为离心率中不含b。
由等差得AF1+AB+BF2=3AB=4a，所以AB=4/3a。AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2，y也是一样的，这样就可以把前面得到的表达式带进去求出a与c的关系，进而求出e。
（2）设AB的中点为C（1/2（x1+x2），1/2(y1+y2))因为AP=BP，AC=BC，所以PC垂直AB，PC的斜率k=-1，就可以求出PC的直线方程，与AB方程联立求出的x'，y'就是C点的坐标（含c），同样的用韦达定理公式和离心率将中点转换成只有c的表达式，与x'，y'的坐标列等式，求出c，进而求出a，b
对椭圆和双曲线来说，a，b，c的关系都是他们的平方之间的关系，所以计算这三个参数的时候，二次会比较容易计算一些，当然这是视情况而定

Answer 2

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