Question

【求解！】已知函数f(x)=asinx+cosx的最大值是2,其中常数a>0

已知函数f(x)=asinx+cosx的最大值是2,其中常数a>0
(1)求a的值,并写出f(x)的单调递增区间
(2)若x属于[0,π]，求f(x)最大值与最小值

Answer 1

解：
（1）f(x)=asinx+cosx的最大值是2
∴√(a^2+1^2)=2
∴a=√3
∴f(x)=√3sinx+cosx
=2[(√3sinx)/2+(cosx)/2]
=2sin(x+30°)
∵单调递增
∴x+30°∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
∴x∈[2kπ-2π/3,2kπ+π/3]
（2）x∈[0,π]
∴x+30∈[π/6,7π/6]
∴sin(x+30°)∈[-1/2,1]
∴f(x)∈[-1,2]
应该着样

Answer 2

解：
（1）f(x)=asinx+cosx的最大值是2
∴√(a^2+1^2)=2
∴a=√3
∴f(x)=√3sinx+cosx
=2[(√3sinx)/2+(cosx)/2]
=2sin(x+30°)
∵单调递增
∴x+30°∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
∴x∈[2kπ-2π/3,2kπ+π/3]
（2）x∈[0,π]
∴x+30∈[π/6,7π/6]
∴sin(x+30°)∈[-1/2,1]
∴f(x)∈[-1,2]
即最大值为2，最小值为-1

Answer 3

【1】f(x)=asinx+cosx=[√(a²+1)]sin(x+t).∴√(a²+1)=2.===>a=√3.此时f(x)=2sin[x+π/6].===>2kπ-π/2≤x+π/6≤2kπ+π/2.===>单调递增区间：2kπ-(2π/3)≤x≤2kπ+(π/3)【2】0≤x≤π,===>π/6≤x+π/6≤π+(π/6).===>-1/2≤sin(x+π/6)≤1===>-1≤f(x)≤2.===>f(x)max=2,f(x)min=-1.

Answer 4

a=√3
单调增区间[－2π／3，π／3]
最大值2，最小值-1