【求解!】已知函数f(x)=asinx+cosx的最大值是2,其中常数a>0
已知函数f(x)=asinx+cosx的最大值是2,其中常数a>0(1)求a的值,并写出f(x)的单调递增区间(2)若x属于[0,π],求f(x)最大值与最小值...
已知函数f(x)=asinx+cosx的最大值是2,其中常数a>0
(1)求a的值,并写出f(x)的单调递增区间
(2)若x属于[0,π],求f(x)最大值与最小值 展开
(1)求a的值,并写出f(x)的单调递增区间
(2)若x属于[0,π],求f(x)最大值与最小值 展开
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解:
(1)f(x)=asinx+cosx的最大值是2
∴√(a^2+1^2)=2
∴a=√3
∴f(x)=√3sinx+cosx
=2[(√3sinx)/2+(cosx)/2]
=2sin(x+30°)
∵单调递增
∴x+30°∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
∴x∈[2kπ-2π/3,2kπ+π/3]
(2)x∈[0,π]
∴x+30∈[π/6,7π/6]
∴sin(x+30°)∈[-1/2,1]
∴f(x)∈[-1,2]
即最大值为2,最小值为-1
(1)f(x)=asinx+cosx的最大值是2
∴√(a^2+1^2)=2
∴a=√3
∴f(x)=√3sinx+cosx
=2[(√3sinx)/2+(cosx)/2]
=2sin(x+30°)
∵单调递增
∴x+30°∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
∴x∈[2kπ-2π/3,2kπ+π/3]
(2)x∈[0,π]
∴x+30∈[π/6,7π/6]
∴sin(x+30°)∈[-1/2,1]
∴f(x)∈[-1,2]
即最大值为2,最小值为-1
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【1】f(x)=asinx+cosx=[√(a²+1)]sin(x+t).∴√(a²+1)=2.===>a=√3.此时f(x)=2sin[x+π/6].===>2kπ-π/2≤x+π/6≤2kπ+π/2.===>单调递增区间:2kπ-(2π/3)≤x≤2kπ+(π/3)【2】0≤x≤π,===>π/6≤x+π/6≤π+(π/6).===>-1/2≤sin(x+π/6)≤1===>-1≤f(x)≤2.===>f(x)max=2,f(x)min=-1.
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a=√3
单调增区间[-2π/3,π/3]
最大值2,最小值-1
单调增区间[-2π/3,π/3]
最大值2,最小值-1
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