Question

高中数学 已知双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),过左焦点F1作斜率为√3/3的直线交双曲线的右支于

已知双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),过左焦点F1作斜率为√3/3的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P ，则双曲线的离心率是

Answer 1

解：
依题意设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1， (a>0，b>0)
过焦点F1(-c,0)的直线L的方程为：y=√3/3*(x-c)，
直线L交双曲线右支于点P，且y轴平分线F1P，
则交y轴于点Q（0，√3/3*c）。
设点P的坐标为（x，y），
又几何知识，可知：x+c=2c，y=2√3/3*c，
x=c，y=2√3/3*c。即P点坐标（c，2√3/3*c），
代入x^2/a^2-y^2/b^2=1，得：1/a^2-4/3b^2=1/c^2，
又 c^2=a^2+b^2，
所以 b^2=2a^2，c^2=3a^2，
故 e=c/a=√3/3。
所求双曲线离心率为：e=√3/3。

Answer 2

解：设FI坐标为（-c，0），由y轴平分线段F1P ，可设P点坐标为（c，y）则
y/2c=√3/3得y=2√3c/3
F1P=4√3c/3
F1P+y=2a
所以4√3c/3-2√3c/3=2a
即2√3c/3=2a
所以e=c/a=√3