Question

在直角坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1），E、F是线段AB上的两个动点，且 ，过点E、F分别作

Answer 1

前面有几道例题，后面是真题练习。感觉挺好的。
要是有别的想要的，给我留言吧
例1反比例函数的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数的图象上，则n的值是 ．
本题考查用反比例函数图象上的点确定其解析式，并会用解析式确定点的坐标．
因为反比例函数的图象经过点（2，5），所以可将点（2，5）的坐标代入，求k就可确定解析式，再将点（1，n）代入解析式中求n的值．或直接根据反比例函数性质即图象上点的横、纵坐标之积为常数k来求n，由题意得2×5=1×n，所以n=10．
填10.
由反比例函数解析式经过变形，可以得到，因为k是一个常数，所以在反比例函数图象上的所在的点的横、纵坐标的乘积是一个定值，根据这个结论，很容易求出这类问题的结果．
例2如图3-1，已知点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为
A. (0，0) B. C. D.
本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识，数形结合是重要的数学方法之一．
当线段AB最短时AB⊥BO，又由点B在直线上可知∠AOB=45°，且OA=1，过点B作x轴的垂线，根据等腰“三线合一”及直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”容易求得点B坐标为，
选B．
部分学生能找出B点运动到何处线段AB最短，但却无法求出具体坐标。突破方法：已知直线BO解析式，求点的坐标是根据两直线相交，再求出AB直线的解析式，利用方程组求出交点坐标。
解题关键：互相垂直的两直线解析式中，一次项系数互为倒数，据此再结合点A的坐标可求出直线AB的解析式。
例3某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数x（册） 5000 8000 10000 15000 …
成绩y（元） 28500 36000 41000 53500 …
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数．求这个一次函数的解析式（不要求写出x的以值范围）；
（2）如果出版社投入成绩48000元，那么能印读物多少册？
本题考查一次函数解析式的确定及其应用．
（1）设所求一次函数解析式为，则，解得,所以所求函数的关系式为.
（2）因为，所以x=12800
能印该读物12800册．
关键要从题目所给表格中的数据选择合适的一对值代入所设解析式，求出解析式。
例4若M、N、P三点都在函数（k＜0）的图象上，则的大小关系为（ ）
A、＞＞ B、＞＞ C、＞＞ D、＞＞
本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小．
反比例函数当k＜0时，其图象位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，结合图象可知，＞＞，
选B．
部分学生不能正确理解反比例函数图象的性质，容易错误的理解成“当 k＜0时，图象位于二、四象限，y随x的增大而增大”。突破方法：不单纯的根据性质进行判断，而是画出图象，结合草图进行判断。
解题关键：反比例函数图象及性质在描述时，因为是双曲线，所以一定要说明“在每一象限内”这一前提。
例6已知抛物线的部分图象如图3-2所示，若y＜0，则x的取值范围是
A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3
C．x＜－1或 x＞4 D．x＜－1或 x＞3
本题考查利用二次函数图象解不等式．
抛物线的图象上，当y=0时，对应的是抛物线与x轴的交点，坐标分别为（－1，0）、（3，0）．当y＜0时所对应的是x轴下方的部分，对应的x在－1与3之间，所以x的取值范围是－1＜x＜3 ，
选B．
本题解题关键在于正确理解y＜0在图象上反映出来的是对应x轴下面的部分，而这一段图象对所应的自变量的取值范围是－1至3，其中3根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴左边的交点坐标来确定的。
例7在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C，如图3-3，点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO
求这个二次函数的解析式；
设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.
本题考查二次函数解析式的确定。
由题目条件，可用待定系数法求解析式
（1），
，，
。
。
（2），
.

（1）；（2）。
部分学生因为题目中没有直接给出两个点的坐标，因此在求待定系数时遇到困难。突破方法：由BO＝CO且点C的坐标为（0，－3）可推知点B的坐标为（3，0），然后代入求解。
例8小明在银行存入一笔零花钱，已知这种储蓄的年利率为n%．若设到期后的本息和（本金+利息）为y(元)，存入的时间为x（年），那么（1）下列那个图像更能反映y与x之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后的本息和是多少元？
（2）根据（1）的图象，求出y于x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围），并求出两年后的本息和．
本题考查用函数图象表示实际生活问题及根据图象求解析式．
（1）图乙反映y与x之间的函数关系从图中可以看出存入的本金是100元一年后的本息和是102.25元
（2）设y与x的关系式为：y=100 n%x+100
把（1，102.25）代入上式，得n=2.25
∴y=2.25x+100
当x=2时，y=2.25×2+100=104.5(元)
（1）图乙，存入的本金是100元，一年后的本息和是102.25元。（2）两年后的和是104.5元。
在选择图象时，应抓住起始钱数为100元，然后随着时间推移逐步增加，到1年时总钱数变为102.25元。确定好图象后，根据图象中的数据，利用待定系数法，容易求一次函数解析式。
例9一次函数y=x+b与反比例函数 图像的交点为A(m，n)，且m，n(m<n)
是关于x的一元二次方程kx2+(2k-7)x+k+3的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m，n为常数．
（1）求k的值；
（2）求A的坐标与一次函数解析式．
本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与x轴的交点横坐标是其对应的一元二次方程的两个根．
（1）由方程有两个不相等的实数根，得：
△== ∴
又∵k为非负整数 ∴k=0，1
当k=0时，方程kx2+(2k-7)x+k+3=0不是一元二次方程，与题设矛盾
∴k=1
（2）当k=1时，方程x2-5x+4=0 ∴
∵m<n ∴m=1 n=4 即A点的坐标为（1，4）
把A（1，4）坐标代入y=x+b得b=3
∴所求函数解析式为y=x+3
（1）k=1；（2）A（1，4），函数解析式为y=x+3。
因本题涉及一元二次方程及二次函数相关问题，部分学生综合运用遇到困难。突破方法：要求k的值，与之相关的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此根据根的判别式可求出k的取值范围，再结合其它条件求出k的值。
例10阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图3-4中，图①.
观察图①可以得出：直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图3-4中，图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图3-4中，图③．

回答下列问题：
（1）在直角坐标系中，如图3-5，用作图象的方法求出方程组的解；
（2）用阴影表示，所围成的区域．
本题考查学生对新知识的阅读理解发与应用能力．
（1）如图所示，在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，
这两条直线的交点是P（－2，6）．
则是方程组的解．
（2）如阴影所示．
（1）；（2）如图3-5所示。
本题的难点是对题目条件所给信息的理解与运用。突破方法：结合图形反复研读，理解不等式与它所对应的直线的关系，并能在图象中用阴影表示出来。运用这一知识求解不等式组时，也就是要找出各不等式所表示的阴影的公共部分。
例11如图3-6，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标
为（2,0）．
（1） 求点B的坐标；
（2） 若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
（3） 在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
本题考查求二次函数解析式，并探索抛物线上点的存在性，培养学生分析问题，解决问题的综合能力．

（1） 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB=. 过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则 OD=，BD=，∴ 点B的坐标为() ．
（2） 将A(2,0)、B()、O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得
解方程组，有 a=，b=，c=0.
∴ 所求二次函数解析式是 y=x2+x.
（3） 设存在点C（x , x2+x）（其中0<x<)，使四边形ABCO面积最大.
∵△OAB面积为定值，
∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大.
过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则
S△OBC= S△OCF +S△BCF==，
而 |CF|==，
∴ S△OBC= .
∴ 当x=时，△OBC面积最大，最大面积为.
此时，点C坐标为()，四边形ABCO的面积为.
（1）B；（2）y=x2+x；（3）存在点C坐标为()，此时四边形ABCO的面积最大为。
（1）解题方法较为灵活，容易解决。（2）因为已具备图象上三点坐标，可直接设为一般式，代入三点求解；也可以设为两根式，再代入点B坐标求解。（3）关键要抓住四边形ABCO的面积由两部分组成，其中△OAB面积为定值，因此要四边形面积最大，问题转化为判断△OBC面积是否存在最大值。
●难点突破方法总结
函数在中考中占有很重要的地位，是中考必考内容之一。课改实验区的函数综合题其背景材料更加丰富，更加贴近生活，更加注重对解决问题的思维过程的考查，但其计算量和书写量与非课改区相比，又有较大幅度的下降。在完成函数问题方面，要注重以下几点。
1.正确理解和掌握各种函数的概念、图象和性质，这是解决所有函数问题的基本前提。
2.应用函数性质解决相关问题时，要树立数形结合思想，借助函数的图象和性质，形象、直观地解决有关不等式、最值、方程的解、以及图形的位置关系等问题。
3.利用转化思想，通过求点的坐标，来达到求线段长度；通过求线段的长度求点的坐标；通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点问题。
4.探究性问题的解题思路没有固定的模式和套路，解答相关问题时，可从以下几个角度考虑：（1）特殊点法；（2）分类讨论法；（3）类比猜测法等，最重要的还是要结合具体题目的特点进行分析，灵活选择和运用适当的数学思想及解题技巧。
●拓展演练
一、填空题
1． 如果正比例函数及反比例函数图象都经过点（-2，4），则正比例函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ．
2. 抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是 ．
3．二次函数与轴有 个交点，交点坐标是 ．
4．已知是整数，且一次函数的图象不过第二象限，则m= .
5．直线y =与两坐标轴围成的三角形面积是 .
6．试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 .
7. 反比例函数的图象经过点（2，－1），则k的值为 ．
8. 双曲线和一次函数y＝ax＋b的图象的两个交点分别是A(－1，－4)，B(2，m)，则a＋2b＝____________．
9. 已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，则k的值可为 ．（写出满足条件的一个k的值即可）
10.在电压一定的情况下，电流I（A）与电阻R（Ω）之间满足如图所示的反比例函数关系，则I关于R的函数表达式为 ．
二、选择题
11. 直线y=kx+1一定经过点（ ）
A．（1，0） B．（1，k） C．（0，k） D．（0，1）
12. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠ADE=∠C，且AB=5，AC=4，AD=x，AE=y，则y与x的关系式是（ ）
A．y=5x B．y=x C．y=x D．y=x
13. y=(x－1)2＋2的对称轴是直线 （
A．x=－1 B．x=1 C．y=－1 D．y=1
14. 如图，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，点B、C、E、F在同一直线上．现从点C、E重合的位置出发，让△ABC在直线EF上向右作匀速运动，而△DEF的位置不动．设两个三角形重合部分的面积为，运动的距离为．下面表示与的函数关系式的图象大致是（ ）

15．点P（a，b）在第二象限，则点Q(a-1，b+1)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．下列函数中,自变量的取值范围选取错误的是( )
A．中, 取全体实数 B．中, 取的实数
C．中, 取的实数 D．中, 取的实数
17．当路程s一定时，速度v与时间t之间的函数关系是（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．二次函数
18．若二次函数，当x取时，函数值相等，则当x取时，函数值为（ ）
A．a+c    B．a－c    C．－c    D．c
19．抛物线的一部分如图所示，该抛物线在轴右侧部分与轴交点的坐标是
A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）
20．抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；②；③＜0；④＜0.其中正确的结论是（     ）
A．①②   B．②③   C．②④  D．③④

三、解答题
21．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如下表：
（元） 15 20 25 30 …
（件） 25 20 15 10 …

（1）在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立与的恰当函数模型．
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

22．如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为6，O为坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点，直线EC交y轴于F，且S△FAE∶S四边形AOCE＝1∶3．
（1） 求出点E的坐标；
（2）求直线EC的函数解析式.

23．某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
年 度 2001 2002 2003 2004
投入技改资金z(万元) 2.5 3 4 4.5
产品成本(万元／件) 7.2 6 4.5 4
（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元．
① 预计生产成本每件比2004年降低多少万元?
② 如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元）?

24．已知函数
（1）求函数的最小值；
（2）给定坐标系中，画出函数的图象；
（3）设函数图象与x轴的交点为A（x1，0）、B（x2，0），求的值．

25．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.6米．
（1）以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2的解析式；
（2）计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到0.1米）

26．如图，用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.
（1）设矩形的一边为（m），面积为(m2)，求关
于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？

●专题三《函数》习题答案
一、填空题
1． （提示：设正比例函数与反比例函数分别为，把点（-2，4）代入）
2.（－2，5），x=－2（提示：根据顶点式，顶点为，对称轴为）
3．2，（－2，0）、（1，0）（提示：把y=0代入解析式得，解之得）
4．－3（提示：由题意，一次函数图象过一、三、四象限，所以，解得）
5．（提示：直线与x轴交点坐标为（－2，0），与y轴交点坐标为（0，－），所以围成的三角形面积为）
6．（提示：答案不唯一，只需满足k＜0）
7.－2（提示：由可得，把点（2，－1）代入即可）
8.－2（提示：把A（－1，－4）代入求得k=4，再把B（2，m）代入求得m=2，再把A（－1，－4），B（2，2）代入y＝ax＋b，可求得a=2，b=－2）
9. 1（提示：答案不唯一，只需满足＜0即可）
10.（提示：设，把（2，3）代入，求得k=6）
二、选择题
11.D（提示：把各选项的坐标分别代入）
12.C（提示：根据题意，△AED∽△ABC，所以即，所以）
13. B（提示：根据顶点式，对称轴为）
14. C（提示：由题意，y的变化规律为先由小变大，再由大变小，且抛物线的开口均向上）
15. B（提示：P（a，b）在第二象限，所以a＜0，b＞0，所以a-1＜0，b+1＞0，因此点Q(a-1，b+1)在第二象限）
16．D（提示：D项中分母不能为0，所以应取的x＞－3实数）
17．A（提示：由题意，当s一定时，速度v是时间t的反比例函数）
18．D（提示：二次函数对称轴为y轴，当x取时函数值相等，所以关于对称轴对称，所以，把x=0代入解析式得y=c）
19．B（提示：由图象可看出抛线对称轴为x=－1，与x轴的一个交点为x=－3，则另一点与之关于x=－1对称，为x=1，所以另一点为（1，0））
20．B（提示：由图象可知＞0，＞0，＜0，所以＜0，所以＜0；又因为点（1，2）在抛物线上，把（1，2）代入解析式可得；由图象可知，当x=－1时，对应的y在x轴下方，所以＜0；而抛物线与x轴有两个交点，故＞0）
三、解答题
21．解：（1） 经观察发现各点分布在一条直线上，∴设 （k≠0）
用待定系数法求得
（2）设日销售利润为z ，则=
当x=25时，z最大为225，
所以当每件产品的销售价定为25元时，日销售利润最大为225元．

22．解：（1） ∵S△FAE∶S四边形AOCE＝1∶3， ∴S△FAE∶S△FOC＝1∶4，
∵四边形AOCB是正方形， ∴AB‖OC， ∴△FAE∽△FOC，∴AE∶OC＝1∶2，
∵OA＝OC＝6， ∴AE＝3， ∴点E的坐标是(3,6)
（2） 设直线EC的解析式是y＝kx＋b，
∵直线y＝kx＋b过E(3,6)和C(6，0)
∴，解得：
∴直线EC的解析式是y＝－2x＋12
23．解：（1）设其为一次函数，解析式为
当时，； 当=3时，6．
解得， ∴一次函数解析式为
把时，代人此函数解析式，左边≠右边． ∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为． 当时，，
可得 解得 ∴反比例函数是．
验证：当=3时，，符合反比例函数．
同理可验证4时，，时，成立．
可用反比例函数表示其变化规律．
（2）解：①当5万元时，，． （万元），
∴生产成本每件比2004年降低0．4万元．
②当时，． ∴
∴（万元）
∴还约需投入0.63万元．
24．解：（1）∵，
∴当x=2时，.
（2）如图，图象是一条开口向上的抛物线．
对称轴为x=2,顶点为（2，-3）．
（3）由题意，x1，x2，是方程x2-4x+1=0的两根，
∴x1+x2=4，x1x2=1.
∴
25．解：（1） 由已知：OC=0.6，AC=0.6，得点A的坐标为（0.6，0.6），
代入y=ax2，得a=， ∴抛物线的解析式为y=x2.
（2）点D1，D2的横坐标分别为0.2，0.4，
代入y=x2，得点D1，D2的纵坐标分别为：y1=×0.22≈0.07，y2=×0.42≈0.27，
∴立柱C1D1=0.6－0.07=0.53，C2D2=0.6－0.27=0.33，
由于抛物线关于y轴对称，栅栏所需立柱的总长度为：
2（C1D1+ C2D2）+OC=2（0.53+0.33）+0.6≈2.3米.
26．解：（1） 由已知，矩形的另一边长为
则= =，自变量的取值范围是0＜＜18.
（2）∵ ==
∴ 当=9时（0＜9＜18)，苗圃的面积最大，最大面积是81
又解: ∵ =－1＜0，有最大值，
∴ 当 =时（0＜9＜18)， （）

Answer 2

（1）证明：由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠OBE=45°；
又∵∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∠EOF=45°，
∴∠AOF=∠BEO，
∴△AOF∽△BEO．

（2）解：作OM⊥AB于M，则
∵OC=OD，OA=OB=1，
∴CE=DF，
又∵∠OCE=∠ODF，
∴△OCE≌△ODF，
∴OF=OE，
∵，又∠COE=∠AOM-∠EOM=45°-22.5°=22.5°=∠EOM
∴，
∴．

（3）解：如图，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，
∵△AOF∽△BEO，
∴，
∴AF×BE=OA×OB=1，
∵，
∴FK=1，即HE×FK=，
∴，
∴k的值为定值．

Answer 3

（1）证明：由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠OBE=45°；
又∵∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∠EOF=45°，
∴∠AOF=∠BEO，
∴△AOF∽△BEO．

（2）解：作OM⊥AB于M，则OM=12AB=22
∵OC=OD，OA=OB=1，
∴CE=DF，
又∵∠OCE=∠ODF，
∴△OCE≌△ODF，
∴OF=OE，
∵∠EOM=12∠EOF=22.5°，又∠COE=∠AOM-∠EOM=45°-22.5°=22.5°=∠EOM
∴PC=PD=OC=22，
∴k=PC×PD=12．

（3）解：如图，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，
∵△AOF∽△BEO，
∴AFOB=OABE，
∴AF×BE=OA×OB=1，
∵BE=2HE，AF=2FK，
∴2HE×2FK=1，即HE×FK=12，
∴PC×PD=EH×FK=12，
∴k的值为定值12．