Question

七年级数学题

1、如图1，∠C=90°，Rt△ABC中，∠A=30°，Rt△A‘B’C中，∠A‘=45°，点A’，B分别在线段AC，B‘C上。将△A’B'C绕直角顶点C顺时针旋转一个锐角θ时，边A'B'分别交AB，AC与P，Q，且△APQ为等腰三角形，求锐角θ的度数
2、若矩形的长宽和对角线都为整数，证明这个矩形的面积是12的倍数。

Answer 1

1.由于△APQ为等腰三角形
所以∠A=∠APQ
由于∠A=30°
所以∠AQP=120°
所以∠AQP=120°
由于∠A‘=45°
所以∠ACA‘=15°
所以θ=∠ACA‘=15°

2.在矩形中，长宽以及对角线都是整数意味着，在由长（a）宽（b）和对角线（c）构成的直角三角形中，a^2+b^2=c^2且a,b,c均为正整数
所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均为正整数）
所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3余数相同，即m≡n(mod 3)，则m-n必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数对为<0,0>,<1,1>,<2,2>）
2.若m,n分别除以3后，余数之和为3或0，则(m+n)必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数对为<1,2>,<2,1>）
3.若m,n中有一个除以3余0，则m和n中有一个必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数有一个为0的所有情况）
上面三种情况包含了所有余数的情况
综上所述，S总能被12整除，所以这个矩形的面积必为12的倍数

Answer 2

锐角是75度