椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2点,A(4,m)在椭圆E上
椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2点,A(4,m)在椭圆E上,且向量AF2*向量F1F2=0,点D(2,0)到直线F1A的...
椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2点,A(4,m)在椭圆E上,且向量AF2*向量F1F2=0,点D(2,0)到直线F1A的距离DH=18/5
(1)椭圆E的方程
(2)设点P为椭圆E上任意一点,求向量PF1*向量PD的取值范围 展开
(1)椭圆E的方程
(2)设点P为椭圆E上任意一点,求向量PF1*向量PD的取值范围 展开
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(1) AF2 * F1F2 =0,所以两向量垂直,
则F2坐标为(4,0),F1坐标为(-4,0),c=4,
椭圆准线x=+/-a^2/4;
三角形F1DH相似与三角形F1AF2,则F1H/F1F2 = DH/F2A ; (1)
F1H=根号(F1D^2-DH^2)=根号(6^2-(18/5)^2)=24/5;
所以由(1)式得:(24/5)/8=(18/5)/m;得到m=6;
根据准线的性质可得:a^2/4-4=6 ,所以a=2倍的根号10;
则b=根号(a^2-c^2)=2倍的根号6;
所以椭圆E的方程为:x^2/40+y^2/24=1;
(2) 设P点坐标(x,y),设M=PF1 * PD=(x+4,y)*(x-2,y)=x^2+2x-8+y^2;
则M=x^2+2x-8+y^2=x^2+2x-8+(24-3x^2/5)
=2x^2/5+2x+16 (x大于等于-2倍的根号10,小于等于2倍的根号10)
在二次函数的对称轴x=-2.5上取的最小值Mmin=17/2;
在x=2倍的根号10时取得最大值Mmax=32+4倍的根号10.
综上:取值范围是 17/2<=M<=32+4倍的根号10。.
则F2坐标为(4,0),F1坐标为(-4,0),c=4,
椭圆准线x=+/-a^2/4;
三角形F1DH相似与三角形F1AF2,则F1H/F1F2 = DH/F2A ; (1)
F1H=根号(F1D^2-DH^2)=根号(6^2-(18/5)^2)=24/5;
所以由(1)式得:(24/5)/8=(18/5)/m;得到m=6;
根据准线的性质可得:a^2/4-4=6 ,所以a=2倍的根号10;
则b=根号(a^2-c^2)=2倍的根号6;
所以椭圆E的方程为:x^2/40+y^2/24=1;
(2) 设P点坐标(x,y),设M=PF1 * PD=(x+4,y)*(x-2,y)=x^2+2x-8+y^2;
则M=x^2+2x-8+y^2=x^2+2x-8+(24-3x^2/5)
=2x^2/5+2x+16 (x大于等于-2倍的根号10,小于等于2倍的根号10)
在二次函数的对称轴x=-2.5上取的最小值Mmin=17/2;
在x=2倍的根号10时取得最大值Mmax=32+4倍的根号10.
综上:取值范围是 17/2<=M<=32+4倍的根号10。.
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