Question

已知函数f(x)=a^2+bx+c(a>0,bc≠0)。(1)若|f(0)|=1=|f(1)|=|f(-1)|

已知函数f(x)=a^2+bx+c(a>0,bc≠0)。

(1)若|f(0)|=1=|f(1)|=|f(-1)|，求f（x）的解析式。

（2）令g(x)=f ‘ (x)，若g（1）=0，有f ’（x）的图像在x轴上截得的弦长为1，且0=<c=<2，试确定c-b的符号。

求具体过程，谢谢。

Answer 1

(1) |f(0)|=|c|=1
c=1,c=-1;
因为a>0,则
当-b/(2a)<0时，f(1)>f(0)；
当-b/(2a)=0时，f(-1)=f(1)>f(0)；
当-b/(2a)>0时，f(-1)>f(0);
所以若f（0）=1，则f（1）或者f（2）必大于1，与条件矛盾，所以c!=1，c=-1；
|f（-1）|=|a-b-1|=1；（a-b）^2-2(a-b)+1=1;(1)
|f（1）|=|a+b-1|=1；(a+b)^2-2(a+b)+1=1; (2)
由（2）-（1）得：4ab-4b=0;
bc!=0时b!=0，a-1=0，a=1，b=1或者b=-1；
综上：f(x)=x^2+x-1或者f(x)=x^2-x-1;
(2) g（x）=2ax+b；g（1）=2a+b=0，b=-2a<0（a>0）；因为c>0,所以c-b>0为正号
下面内容可以不看。
f(x)=ax^2-2bx+c在X轴上截得弦长为1（上面题目是不是打印错了，应该是f(x)而不是f`(x)吧）
length=x2-x1=(-b+???)/2a - (-b-???)/2a (???表示求根公式中根号部分)
所以 ？？？=a，b^2-4ac=a^2;(-2a)^2-4ac=a^2; c=0.75a;
c-b=2.75a>0;

Answer 2

(1) |f(0)|=|c|=1
c=1,c=-1;
因为a>0,则
当-b/(2a)<0时，f(1)>f(0)；
当-b/(2a)=0时，f(-1)=f(1)>f(0)；
当-b/(2a)>0时，f(-1)>f(0);
所以若f（0）=1，则f（1）或者f（2）必大于1，与条件矛盾，所以c!=1，c=-1；
|f（-1）|=|a-b-1|=1；（a-b）^2-2(a-b)+1=1;(1)
|f（1）|=|a+b-1|=1；(a+b)^2-2(a+b)+1=1; (2)
由（2）-（1）得：4ab-4b=0;
bc!=0时b!=0，a-1=0，a=1，b=1或者b=-1；