Question

已知圆c与直线x-y=0相切,截直线x-y-4=0所得弦长为2√2

已知圆c与直线x-y=0相切,截直线x-y-4=0所得弦长为2√2，且圆心在直线x+y=0上，求圆方程

Answer 1

解：因为圆心在直线x+y=0上，设圆心O(a，-a），又因为圆c与直线x-y=0相切，直线x+y=0斜率
k1=-1，直线x-y=0斜率k2=1，k1*k2=-1，两条直线垂直。圆心到直线x-y=0的距离为半径，所以半径即为圆心O(a，-a）到原点的距离，即2√a。设圆方程（x-a）^2+(y+a)^2=2a^2,联立x-y-4=0得x^2-4x-4a+8=0,l两个根分别为x1=2+2√(a-1),x2=2-√(a-1)直线x-y-4=0与圆的两个交点分别设为A（x1，y1），B（x1，y2），因为圆c截直线x-y-4=0所得弦长为2√2，所以√[（x1-x2）^2+（y1-y2)^2]=2√2,化简得x1-x2=2,所以4√(a-1)=2,所以a=5/4，所以圆方程（x-5/4)^2+(y+5/4)^2=25/8。

Answer 2

可以设圆心为（a，-a），（因为圆心在直线x+y=0上），则再由圆与直线x-y=0相切，则圆心到该直线的距离就应该是半径r，则就可以得到一个r关于a的式子，再由圆截直线x-y-4=0所得弦长为2√2
，则可以得到半径、圆心到直线x-y-4=0的距离、弦长的一半就可以构成一个直角三角形，得三边的平方关系，就可以解得a的值，这时，半径也可以解出来了，那么方程就有了。

Answer 3

设 C(a,-a),半径为r, 则 |a-(-a)|/根号2=r, {|a-(-a)-4|/根号2}^2+(根号2)^2=r^2
代入得 2 (a-2)^2+2=2a^2 a=5/4 , r^2= 25/8 圆方程 (x-1.25)^2+(y+1.25)^2=25/8