Question

初中数学几何题求过程

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于点F,
(2)将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求sin∠ACH的值

Answer 1

证明：（1）①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等边△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC．
②在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE= 12AB，BE= 12AB．
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC‖BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD‖BC，即FD‖BC．
∴四边形BCFD是平行四边形．

解：（2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，
∴∠CAH=90°．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a，
∴AB=2BC=2a．
∴AD=AB=2a．
设AH=x，则HC=HD=AD-AH=2a-x，
在Rt△ABC中，AC2=（2a）2-a2=3a2，
在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=（2a-x）2，
解得x= 14a，即AH= 14a．
∴HC=2a-x=2a- 14a= 74a．
∴sin∠ACH= AHAC=14a74a=17．