Question

如图，四边形ABCD是直角梯形，AB//DC，AB=6，CD=3，AD=4。动点M、N分别从A、B两点同时出发，（下接）

点M以每秒1个单位长的速度延AB向点B运动；点N以每秒1个单位长的速度延B-C-D运动；当其中一个点到达中点时，另一个也随即停止，设两个点的运动时间为t。
1.当t为何值时，MN//AD
2.设△DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值，是多少？
3.写出MN⊥BD时t的值。

Answer 1

我认为，题目中“当其中一个点到达中点时，另一个也随即停止，设两个点的运动时间为t，”应该为“当其中一个点到达终点时，另一个也随即停止，设两个点的运动时间为t，”题目才能做。
四边形ABCD,很显然，BC=5；AM=t （t<=6）；NB=t （t<=5）;BM=6-t；
1.当MN//AD,AD和AB垂直，取AB终点E，则三角形BCE和三角形MNB相似，因此：NB/BC=BM/BE 因此 t/5=(6-t)/3得到t=15/4(满足条件）
2.四边形ABCD面积为：0.5*（3+6)*4=18;
三角形ADM的面积为：0.5*AM*AD=0.5*t*4=2t;
三角形MNB的面积为：0.5*MB*NB*sinB=0.5(6-t)*t*sinB;在三角形BED中，SinB=4/5;同理，可求SinC=Sin(180-B)=sinB=4/5;
因此：三角形MNB的面积为：0.5*t*(6-t)*4/5=0.4t(6-t)=2.4t-0.4t^2;
三角形DCN的面积为：0.5*CD*NC*sinC=0.5*3*(5-t)*4/5=6-1.2t;
△DMN的面积为S=18-2t-2.4t+0.4t^2-6+1.2t=0.4t^2-1.2t+12;
自变量t的取值范围0<t<=5;S是有最小值,S=0.4t^2-1.2t+12=0.4(t-1.5)^2+11.1<=11.1,当t=1.5时S是有最小值11.1
3.写出MN⊥BD时t的值
四边形DMBN的面积为三角形MNB的面积和三角形DCN的面积的和，即0.4t^2-1.2t+12+2.4t-0.4t^2=1.2t+12
求MN长度，在三角形MNB中，利用NM^2=MB^2+NB^2-2MB*NB*CosB
因此：NM^2=t^2+(6-t)^2-2t(6-t)CosB;CosB=3/5(SinB=4/5)
因此：NM^2=t^2+(6-t)^2-2t(6-t)0.6
求DB长度，在三角形ADB中，DB^2=16+36=52;
四边形DMBN的面积的平方为：0.5*0.5*MN^2*BD^2=[t^2+(6-t)^2-2t(6-t)0.6]*52*0.25=(1.2t+12)^2
可求解t

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追问

谢谢