Question

求函数f(x)=((e^x)-a)²+((e^-x)-a)²(0<a<2)的最小值

Answer 1

解：f(x) =e^(2x) -2a (e^x) +a^2 +e^(-2x) -2a (e^-x) +a^2
=e^(2x) +e^(-2x) -2a(e^x +e^-x) +2a^2
=(e^x +e^-x)^2 -2a(e^x +e^-x) +2a^2 -2.

令 t =e^x +e^-x,
则 t ≥2√ (e^x *e^-x) =2,
当且仅当 e^x =e^-x, 即x=0 时, 等号成立.

所以 f(x) =g(t)
= t^2 -2at +2a^2 -2
= (t-a)^2 +a^2 -2, t≥2.
又因为 0<a<2,
所以 当 t=2 时,
g(t) 有最小值 (2-a)^2 +a^2 -2 =2a^2 -4a +2.

即 当 x=0 时,
f(x) 有最小值 2a^2 -4a +2.

= = = = = = = = =
以上计算可能有误.
(1) e^(2x) +e^(-2x) =(e^x +e^-x)^2 -2.
配方法.

(2) t ≥2√ (e^x *e^-x) =2,
基本不等式.

(3) 0<a<2, t ≥2,
所以 t 不能取a.

Answer 2

解：F(X)=(E^X-A)^2+(E^(-X)-A)^2
=(E^X）^2+(E^(-X)）^2-2A（E^X+E^(-X)）+2A^2
=(E^X+E^(-X))^2-2A（E^X+E^(-X)）+2A^2-2
=(E^X+E^(-X)-A)^2+A^2-2
E^X+E^(-X)>=2,0<A<2
所以E^X+E^(-X)=2,时F（X）最小，最小值是2A^2-4A+2