Question

凸透镜成像公式是：1/u+1/v=1/f,其中u表示物距，v表示像距，f表示焦距。

凸透镜成像规律是当u=v=2f时，u+v有最小值4f，请各位用数学的方法证明这个结论。

Answer 1

因为u,v>0,
所以根据均值不等式2/(1/a+1/b)＜＝(a+b)/2
当且仅当a=b时上式取等号
所以u+v＞＝4/(1/u+1/v)＝4/(1/f)＝4f
当且仅当u＝v,1/u+1/v=1/f即u＝v＝2f时上式取等号,
所以当u＝v＝2f时u+v有最小值4f.

Answer 2

1/u+1/v=（u+v）/uv=1/f,
y=u+v=uv/f
y'=v/f+u/f=0
u=-v 距离取绝对值
代入1/u+1/v=1/f,
2/u=2/v=1/f
所以当u=v=2f时y=u+v有最小值
u+v最小值=2f+2f=4f