Question

采样定理的推导过程

Answer 1

1.采样定理

当我们对连续信号x\left( t \right) 进行理想抽样时，抽样信号x_{i} 为：

x_{i} =\sum_{n=-\infty }^{+\infty }{x} \left( t\right) \delta \left( t-nT \right) 

假设X\left( jw \right) 、P\left( jw \right) 分别是x\left( t\right) 、\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \delta \left( t-nT\right) 的傅里叶变换，由1.4小节所述，可得抽样信号的傅里叶变换X_{i} \left( jw \right) 为：

X_{i} \left( jw \right) =\frac{1}{2\Pi } \int_{-\infty }^{+\infty } X\left( j\theta  \right) P\left( jw-j\theta  \right) d\theta

可化简为：

X_{i} \left( jw \right) =\frac{1}{2\Pi } X\left( jw  \right) \ast P\left( jw  \right) \left( 2.1 \right) 

现在让我们先缓一缓，求解一下\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \delta \left( t-nT\right) 的傅里叶变换P\left( jw \right) ！

因为\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \delta \left( t-nT\right) 是周期信号，如果要求它的频谱，首先得把它的傅里叶级数a_{k} 求得，然后根据1.3小节所述的关系式再求出P\left( jw \right) 。

首先，求出a_{k} ：

a_{k}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2}}  \sum_{n=-\infty }^{+\infty } \delta \left( t-nT\right) e^{-jk\frac{2\Pi }{T}t } dt=\frac{1}{T} 

将a_{k} 带入1.3小节所述的关系式，可得：

P\left( jw \right) =\frac{2\Pi}{T} \sum_{k=-\infty }^{+\infty} \delta \left( w-kw_{o}  \right) 

一个信号与一个单位冲激函数的卷积就是该信号的移位，因此，可得：

X_{i} \left( jw \right) =\frac{1}{2\Pi } X\left( jw  \right) \ast P\left( jw  \right) =\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty }^{+\infty }{X\left( j\left(w-kw_{o}  \right)  \right) } 

即可推理出:采样信号的频谱等同于原信号的频谱进行周期延拓！

总结：

整个过程可以概括为，求出\sum_{n=-\infty }^{+\infty } \delta \left( t-nT\right) 的傅里叶级数a_{k} 后，求出冲激串的频谱P\left( jw \right) ，原信号与冲激串两者频谱进行卷积，便得到抽样信号的频谱！可以概括为两步：求冲激串频谱，与原信号卷积！