Question

请教一题目：设函数f（x)在负无穷到正无穷内连续，且F（x）=∫（0到x）（x-2t）f（t)dt,

试证f(x)为偶函数，则F（x）也为偶函数。。符号不太会打，请教~~~

Answer 1

若f(-x)=f(x)
则 F（-x）=∫（0到-x）（-x-2t）f（t)dt=∫（0到x）（-x+2t）f（-t)d(-t) （设-t=t)
=∫（0到x）-（-x+2t）f（t)dt）=∫（0到x）（x-2t）f（t)dt=F(x)
所以 F（x）也为偶函数

Answer 2

F(x)=x*∫0-xf（x)dx -x^2
f(x)为偶函数积分为奇函数前面还有个x前面一项为偶函数后面的x^2为偶函数和也为偶函数
完了