Question

高中数学 （要用极坐标）

已知椭圆中心为点O，长轴短轴分别为2a，2b（a>b>0）,A,B分别为椭圆上的两点，且OA垂直OB。
（1）1/OA^2+1/OB^2为定值。
（2）求△AOB面积的最大值和最小值。

Answer 1

(1) 点(x,y)的极坐标表示为：
x=rcosθ, y=rsinθ
带入椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1得：
(rcosθ)^2 /a^2+(rsinθ)^2/b^2=1
假设A点极坐标表示为(r1cosθ1,r1sinθ1)，B点极坐标表示为(r2cosθ2,r2sinθ2)，
由椭圆方程r1^2[(cosθ1)^2/a^2+(sinθ1)^2/b^2]=1，r2^2[(cosθ2)^2/a^2+(sinθ2)^2/b^2]=1
1/OA^2+1/OB^2
=1/r1^2+1/r2^2
=[(cosθ1)^2/a^2+(sinθ1)^2/b^2]+[(cosθ2)^2/a^2+(sinθ2)^2/b^2]
=[(cosθ1)^2+(cosθ2)^2]/a^2+[(sinθ1)^2+(sinθ2)^2]/b^2
由于θ1与θ2夹角为90度，|cosθ1|=|sinθ2|，|sinθ1|=|cosθ2|
(cosθ2)^2=(sinθ1)^2，(sinθ2)^2=(cosθ1)^2
1/OA^2+1/OB^2=1/a^2+1/b^2
(2) △AOB面积=1/2r1r2
(r1^2)(r2^2)
=1/{[(cosθ1)^2/a^2+(sinθ1)^2/b^2][(cosθ2)^2/a^2+(sinθ2)^2/b^2]}
=(a^4)(b^4)/[b^2(cosθ1)^2+a^2(sinθ1)^2][b^2(cosθ2)^2+a^2(sinθ2)^2]
=(a^4)(b^4)/[b^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2+a^2b^2(cosθ1)^4+a^2b^2(sinθ1)^4+a^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2]
=(a^4)(b^4)/[b^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2+a^2b^2-2a^2b^2(cosθ1)^2(sinθ1)^2+a^4(cosθ1)^2(sinθ1)^2]
=(a^4)(b^4)/[a^2b^2+(a^2-b^2)^2(cosθ1)^2(sinθ1)^2]
=(a^4)(b^4)/[a^2b^2 +(1/4)(a^2-b^2)^2(sin2θ1)^2]
当|sin2θ1|最大时，△AOB面积最小，这时θ1=45度，
(r1^2)(r2^2)=(a^4)(b^4)/[a^2b^2 +(1/4)(a^2-b^2)^2]，
△AOB面积=a^2b^2/(a^2+b^2)
当|sin2θ1|最小时，△AOB面积最大，这时θ1=0度
(r1^2)(r2^2)=(a^4)(b^4)/[a^2b^2]=a^2b^2，
△AOB面积=(1/2)ab

Answer 2

不需要极坐标。。