Question

5 经过原点且法向量与 {-2,1,1} 的平行的平面方程() ()-|||- A -2x+y+z？

Answer 1

假设原点为点P，法向量为N，要求的平面为平面Q。

首先，由于平面Q的法向量与{-2,1,1}平行，所以它也可以表示为一个向量的系数与{-2,1,1}相同。假设这个向量为V，那么有：

V = k{-2,1,1}，其中k为系数。

其次，由于平面Q经过原点P，所以它可以表示为垂直于向量V的任意向量与向量V的线性组合。假设垂直于V的向量为W，那么有：

Q : r = lP + mV + nW

其中r是平面上任意一点的位置矢量，l、m、n为系数。

现在的问题是如何求出向量V和向量W。我们可以利用点积和叉积的相关性质。由于V垂直于W，所以它们的点积为0：

V·W = 0

将V和W用向量的坐标表示出来，得到：

k(-2w + v + u) = 0

其中u、v、w为W的坐标。由于W垂直于V，所以它和V的叉积为一个与它们都垂直的向量N，即：

V×W = N

将V和W用坐标表示出来，得到：

(ku - kw, -2kv - ku, kv - kw) = (-2, 1, 1)

解这个方程组可以得到：

k = -1/3, u = -2, v = 1, w = 7

现在，我们已经求出了向量V和向量W，可以利用它们来求出平面方程。首先，由于V和W垂直，所以向量V×W在长度上等于平面Q的面积。由于平面Q经过原点，所以它的方程可以写作：

Q : a·x + b·y + c·z = 0

其中a、b、c是Q的法向量的坐标。这个法向量可以通过向量V和W的叉积N来求得：

N = V×W = (-3, 11, 5)

将N归一化得到单位向量n：

n = N/||N|| = (-3/13, 11/13, 5/13)

所以平面Q的法向量为n，即：

Q : -3/13·x + 11/13·y + 5/13·z = 0

这就是平面Q的方程。
去分母后平面方程为-3x+11y+5z＝0