Question

已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=ana(n+1)/2,其中a1=1,(1)求{an}通项公式（2）试求所有...

已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=ana(n+1)/2,其中a1=1,(1)求{an}通项公式（2）试求所有正整数m使am+1am+2/am为数列{Sn}中的项。过程详细点

Answer 1

an=ana(n+1)/2-ana(n-1)/2；
得an（a(n+1)-a(n-1)-2）=0，因为an不为零，
a(n+1)-a(n-1)=2，将a1=1代入可得a2=2。
an=n。
(m+1)(m+2)/m为正整数，
(m+1)(m+2)/m=m+3+2/m，
2/m为正整数。
m=1或m=2.

Answer 2

an=Sn-S(n-1)=ana(n+1)/2-ana(n-1)/2=an[a(n+1)-a(n-1)]/2
∴a(n+1)-a(n-1)=2
a1=S1=a1a2/2得a2=2
∴an=n
Sn=(1+n)n/2=a(m+1)a(m+2)/am=(m+1)(m+2)/m，为整数
m,m+1互质且m,m+2至多有公因数2
∴m=2(n=3);m=1(n=3)

Answer 3

S1=a1=a1a2/2, a2=2
an=sn-s(n-1)=ana(n+1)/2-a(n-1)an/2
因an<>0, 2=a(n+1)-a(n-1)
a(2k+1)=a1+2k=1+2k
a(2k+2)=a2+2k=2+2k
即an=n
要(m+1)(m+2)/m为整数，由于m,m+1互质, m,m+2至多有公因数2
因此m为1或2。

Answer 4

an=n
n=1时成立
假设当n=k时成立，即ak=k,Sk=1+2+…+k=k+k*(k-1)/2=(k/2)(k+1)
当n=k+1时，
Sk=(1/2)ak*a(k+1)=(k/2)*a(k+1)=(k/2)(k+1)
所以ak=k+1 成立
综上所述，an=n成立

2:m=2n

Answer 5

(1)a2=2 a3=3猜测an=n证明数学归纳法：①n=1,时满足公式an=n。②设n=k(k≥2)时有ak=k则当n=k+1时， Sk=Sk-1+ak=ak-1×ak/2+ak=k×(k-1)/2+k 2Sk=ak×ak+1 ak+1=k+1 n=k+1时也满足综合①②得an=n（2)和要是整数n=1