Question

圆o是三角形外接圆，∠BAC和∠ABC的角平分线

如图所示，圆o是三角形ABC的外接圆,角BAC与角ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D连接BD、DC,求：
若圆O的半径位为10，∠BAC=120，求S△BDC

Answer 1

解：连接OB，OC，OD
则 OB=OC=OD=圆O的半径=10
∵AD是∠BAC的角平分线，∠BAC=120°
∴∠BAD=∠CAD=60°
从而 ∠DBC=∠CAD=60°(同弧上的圆周角相等)
∠BCD=∠BAD=60°(同弧上的圆周角相等)

即 ∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD
=180°-60°-60°
=60°
∴三角形BCD是等边三角形。
又 ∠BOD=2∠BAD=2*60°=120°(同心角等于对应圆周角的二倍)
从而 由余弦定理，得 BD^2=OB^2+OD^2-2*OB*OD*cos120°
=10^2+10^2-2*10*10*(-1/2)
=300
∴BD=10√3
即 BC=CD=BD=10√3
从而 S△BDC=1/2*BC*CD*sin60°
=1/2*10√3*10√3*√3/2
=75√3.
∴S△BDC=75√3.