Question

已知： f(x)f[f(x)+1/x]=1 f(x)在定义域单调 定义域x＞0 求f(1) ?

法1: 设f(1)=a
令x=1时 f(1)f[f(1)+1]=1 即f(a+1)=1/a
令x=a+1时 f（a+1）f[f(a+1) +1/(a+1)]=1 即f[f(a+1) +1/(a+1)]=a=f(1)
又因为 f(x)在定义域单调
所以 f(a+1) +1/(a+1)=1
1/a +1/(a+1)=1
a=（1+根号5）/2 或 a=（1-根号5）/2
这一过程两个a都成立

法2：设x=b时 x=f(x)+1/x 即 f(b)=b-1/b 且 [f(b)]^2=1
联立 得[b-1/b]^2=1
解得b=（1+根号5 ）/2 或 b=（-1+根号5 ）/2
由单调得
f(（-1+根号5 ）/2)=-1 f(（1+根号5 ）/2)=1
又因为(-1+根号5 ）/2<1<(1+根号5 ）/2
所以 -1<f(1)<1

解法1中的a=（1+根号5）/2 显然不满足解法2 矛盾了
但是两个方法好像都没有错误
请问问题出在哪?

Answer 1

你的解法2有问题。
“设x=b时 x=f(x)+1/x”，你这样解的前提是假设这样的b是存在的，换句话说，你的解法2只能说明：如果这样的b存在，则b只能为(1+根号5 )/2 或 (-1+根号5 )/2，而如果这样的b根本就不存在，你的解法就完全无意义了，就算存在，(1+根号5 )/2 或 (-1+根号5 )/2中的一个满足即可，不一定两个都满足。
我这样说可能有点悬，你不妨这样想想，若f((-1+根号5 )/2)不为-1，又或是 f((1+根号5 )/2)不为1，由你的解法2并不能推出矛盾的结论。
至于解法1应该是对的，f(1)应该两个值都有可能。

追问

若f((-1+根号5 )/2)不为-1，又或是 f((1+根号5 )/2)不为1
则有f(（-1+根号5 ）/2)=1 f(（1+根号5 ）/2)=-1
反正两个根对应两个值 函数单调 最后的限定区间还是没变

两个结果都是解出来的 如果有一个不满足 就应该有对应限制条件
就像解法一里如果一个解不成立 就应该有限制 可是实际没有 或者没发现

如果b的存在需要讨论的话 方法一里的1和a+1的值也得讨论是否存在了
那么抽象函数的特值发就不行了

追答

这个逻辑有点混乱啊。。。
首先抽象函数的特值法是可以成立的，因为给出的条件是对定义域内的任何值都成立的。方法2中b的存在确实需要讨论，你怎么知道定义域内一定有这样一个数b满足f(b)=b-1/b。
其次，我们来理一下你的解法2的思路：首先假设在正数范围内有这样一个数b满足f(b)=b-1/b，然后代入抽象函数式，然后通过一系列的推理得到b=(1+根号5)/2或(-1+根号5)/2，这里过程是没有错的，但你是否想过这样得到的结果究竟是什么意义？这个结果只说明了 f((-1+根号5)/2)=-1、 f((1+根号5)/2)=1是成立的，是不违背题意的，而并不能说明不能是其他值。
我又研究了一下这个函数，发现f(x)=(1-根号5)/2x和f(x)=(1+根号5)/2x都是满足题意的函数(不信你可以代进去试一下，f(x)f[f(x)+1/x]=1恒成立），这样f(1)确实至少有2个值。解法1是正确的。
如果你还是不太懂，我建议你问问老师，这逻辑确实挺纠结。。。

追问

最后两点疑问
为什么b的存在需要讨论 只要b>0 b就在定义域里了 它的4个值中 两个值成立 两个值不成立 就行了 不用讨论啊 就像方法1里的x=1在定义域里所以就没讨论啊 或者说如果要讨论的话 应该讨论什么 怎么讨论
解法1里的：f[f(a+1) +1/(a+1)]=f(1)也不能说明f(a+1) +1/(a+1）=1 因为f（x）有不同的解析式 左面的和右面的自变量不一定在同一函数图像上 就像方法2里b的俩值在不同图像上一样
其实这题就是老师也不会我才来问的

Answer 2

法1考虑不周全，a的取值范围没讨论。如果题里可以把a的范围限制一下，就能舍一个解。而把a限制的方法就是法2。换句话说，把两个方法结合一下就行了。最后的解是a=（1-根号5）/2。

Answer 3

法2：设x=b时 x=f(x)+1/x 即 f(b)=b-1/b 且 [f(b)]^2=1
联立 得[b-1/b]^2=1
解得b=（1+根号5 ）/2 或 b=（-1+根号5 ）/2

这一步似乎有点问题
[b-1/b]^2=1
b-1/b=±1
b= (±1±根号5)/2
一共4个根才对

追问

b是自变量 定义域x>0 也就是b>0 因此b的两个根舍去了

Answer 4

f(x)不是在定义域单调吗？ 怎么f（1）会有两个值呢 ？
画图来看 解法1中的a=（1+根号5）/2 是没有可能的
是不是要用什么方法排除这个值？

追问

问的好！
关键的是：f（x）只知道性质 还不能确定解析式
也就是可能有两个解析式满足已知条件，但是f（1）不一样

追答

f（1）不一样？？详细点

追问

f(x)f[f(x)+1/x]=1
说明f（x）是抽象函数
而抽象函数是不能确定f（x）解析式的
只等用数学归纳法证明一个解析式是满足f(x)f[f(x)+1/x]=1的
兴许还有其他解析式也满足f(x)f[f(x)+1/x]=1
不能确定f（x）解析式一定是它
但是 不同的解析式有不同的f（1）
结果也就不一样了

Answer 5

方法2一开始就有问题。为什么设x=b时可以得到 x=f(x)+1/x ？你想想看，如果x=1，那不就有1=f(1)+1，然后得f(1)=0？很显然这是不可能的。因为定义域首先f(x)≠0。

追问

已知： f(x)f[f(x)+1/x]=1 中 左面f下自变量有两个 x和f(x)+1/x
设这两个自变量相等时 即x=f(x)+1/x时
x=b
也就是说 x=f(x)+1/x时 x就不能任意取值了
法2 之后就是把b解出来 然后带入专属b的恒等式 f(b)=b-1/b
以确定自变量为1时 函数的值的范围
可是范围与法1的结果矛盾