Question

一道有关导数的应用的题

设气球以每秒100立方厘米的常速注入气体，假设气体压力不变，那么当气球半径为10厘米时，气球半径增加的速度为 cm/s?

Answer 1

设在时刻t时，气球的体积为V，半径为r
则 V=4π(r^3)/3, r=r(t),
依题意，dV/dt=100 cm^3/s,要求当r=10cm时dr/dt的值
V=4π(r^3)/3 两边对t求导则
dV/dt=(4π/3) * 3 * [(r=r(t))^2]dr/dt
代入得
100=4π*100*dr/dt
所以dr/dt=1/(4π)
所以当气球半径为10厘米时，气球半径增加的速度为1/(4π) cm/s

Answer 2

假设在Δt秒时间内，半径r的增幅为Δr厘米。那么在此Δt时间内气球膨胀的体积
Δv=4π(r+Δr)^3/3 - 4πr^3/3
=4π(3r*r*Δr+3r*Δr*Δr+Δr*Δr*Δr)/3
=100*Δt

所以
dv/dt=100
整理得：4πr*r*(Δr/Δt) =100
解得：lim(Δr/Δt)=1/4π cm/s

注：这里Δr为Δt的高阶无穷小量

Answer 3

求出体积与半径的关系，再求导即可。这是解题的常规思路。

追问

请写出详细的解答过程